منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة - اولمبياد جذع مشترك علمي بمراكش-المغرب 07/08

04-06-2008, 06:45 PM

التمرين الاول :
هل يمكن ان يكون مجموع ثلاثة اعداد صحيحة نسبية متتالية مساوية لجدائها ؟

السؤال بصيغة اخرى لنحل في $\mathbb Z$ المعادلة $a+b+c=abc$ بحيث $a$ و $b$ و $c$ اعداد صحيحة نسبية متتابعة .
لاجل دلك نفترض ان $a=a$ و $b=a+1$ و $c =a+2$

لدينا $a+b+c=3(a+1)$ و $abc=a^3+3a^2+2a$

بماان $a+b+c=abc$ فان $3(a+1)=a^3+3a^2+2a$

ادن يكفي حل المعادلة $a^3+3a^2-a-3=0$

باعتماد الطريقة التي تدرس في الجدع المشترك العلمي يكفي ان نبحت عن جدر بديهي و نستعمل المميز ...لكن ساعطيك طريقة عملية اكثر هي التمتيل المبياني للدالة $f(x)= x^3+3x^2-x-3$

فنلاحض انها تتقاطع و محور الافاصيل في النقط $1$ و $-1$ و $-3$

و هي تمتل حلول المعادلة

و منه فان الاعداد الصحيحة النسبية المتتابعة هي :

$\{a=a\\b=a+1\\c=a+2$

$\{a=1\\b=2\\c=3$

$\{a=-1\\b=0\\c=1$

$\{a=-3\\b=-2\\c=-1$