منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

20-08-2007, 10:44 PM

السلام عليكم ،

من المعلوم انه ممكن ان يكون للتكامل أكثر من جواب و لكنهم واحد(أو يختلفون

في عدد ثابت ) بعد التلاعب بالقواعد ، لإزاحة الغموض حول ثابت التكامل لننظر إلى المثال التالي:

يمكن حل هذا التكامل البسيط بطريقتين و هنا تظهر المشكلة :

الطريقة الأولى باستخدام قاعدة التكامل مباشرة :

$\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x}}= \frac{1}{2}ln\left|x \right|+ C$

الطريقة الثانية باستخدام التعويض t = 2x , dt = 2 dx

$\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x}}=\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{t}}= \frac{1}{2}ln\left|t \right|+ K = \frac{1}{2}ln\left|2x \right|+K$

هل ترون المشكلة الآن ، قمنا بتكامل نفس الدالة و حصلنا على جوابين

مختلفين ، كيف ذلك ؟

لاحظوا أولا أن استخدام طريقتين لا يعني ان الثابت واحد و لذلك استخدمت

ثابتين مختلفين : C , K

لنأخذ ثانيا الجواب الثاني ، باستخدام قواعد اللوغاريتمات :

$\frac{1}{2}ln\left|2x \right|+K = \frac{1}{2}(ln2 + ln\left|x \right|)+K=\frac{1}{2}ln\left|x \right|+\frac{1}{2}ln2 + K$

لاحظوا أن الجوابين ليسا مختلفين على الإطلاق ، في الحقيقة هما يفرقان

عن بعضهما في ثابت ، حيث يمكن استنباط العلاقة :

و هذا عائد للقاعدة التالية :

إذا كان لدالتين مشتقة واحدة فإنهما يختلفان عن بعضهما بعدد ثابت :

و هذا بالضبط ما حصل ، الدالتان :

$\frac{1}{2}ln\left|2x \right|, \frac{1}{2}ln\left|x \right|$

لهما نفس المشتقة بالضبط

و عليه استخدام عدة طرق في حل نفس التكامل قد

يعطي ثوابت تكامل مختلفة (و في بعض الاحيان نفس الثابت)

مثال آخر $\int{sinx cosx dx}$

الطريقة الاولى

باستخدام العلاقة : $sin2x = 2sinxcosx$

$\int{sinx cosx dx}= \frac{1}{2}\int{sin2x dx}= \frac{-1}{4}cos2x + c_{1}$

الطريقة الثانية

باستخدام التعويض : u = cosx , du = - sinx dx

$\int{sinx cosx dx}= - \int{u du}= \frac{-u^2}{2} + c_{2}= \frac{-1}{2} cos^2 x+ c_{2}$

الطريقة الثالثة

باستخدام التعويض مرة أخرى : u = sinx , du = cosx dx

$\int{sinx cosx dx}=\int{u du}= \frac{u^2}{2} + c_{3}= \frac{1}{2}sin^2 x+ c_{3}$

إذن حصلنا على ثلاثة أجوبة و لكننا نعلم أنها تختلف بـ ثابت لأن لها نفس

المشتقة ، لرؤية ذلك نحتاج لبعض التلاعب بالقواعد :

لنبدأ بالجواب الأول :

بما أن : cos2x = cos² x - sin² x

$\frac{-1}{4}cos2x + c_{1}= \frac{-1}{4}(cos^2 x - sin^2 x)+ c_{1}$

الآن نستبدل : sin² x = 1 - cos² x

يصبح الجواب :

$\frac{-1}{4}(cos^2 x - (1-cos^2 x)+ c_{1}= \frac{-1}{4}(2cos^2 x -1)+c_{1}= \frac{-1}{2}cos^2 x + \frac{1}{4}+ c_{1}$

بالمقارنة مع الجواب الثاني ، نجد أن :

$c_{2}= \frac{1}{4}+c_{1}$

بإمكاننا عمل نفس الشيء لربط الجوابين الاول و الثالث :

$\frac{-1}{4}cos2x + c_{1}= \frac{-1}{4}(cos^2 x - sin^2 x)+ c_{1}$

الآن نستبدل : cos² x = 1 - sin² x

يصبح الجواب :

$\frac{-1}{4}(1-sin^2 x - sin^2 x) + c_{1}= \frac{-1}{4}(1 - 2sin^2 x)+c_{1}= \frac{1}{2}sin^2 x + \frac{-1}{4}+ c_{1}$

بالمقارنة مع الجواب الثالث ، نجد أن :

$c_{3}= \frac{-1}{4}+c_{1}$