(2) هندسة السطوح المحدبة كانت الهندسة التي اكتشفها جاوس و بوليا و لوباتشفسكي كل على حدة هي نوع واحد من الهندسة اللا إقليدية وهي هندسة السطوح المقعرة وفي هذه الهندسة يكون مجموع زوايا المثلث أقل من 180 درجة. وبالقياس يجب ن يكون مجموع زوايا المثلث المرسوم على سطح محدب أكبر من 180درجة ولم ينتبه الى هذه الحقيقة العلمية أي من جاوس أو بوليا أو لوباتشفسكي، وكانت من نصيب الرياضي الألماني برنهارد ريمان Bernahard Riemann (1826- 1866) كما أنه من نقطة ما على هذا السطح المحدب لا يمكن رسم مستقيم يوازي الآخر بمعنى أن جميع المستقيمات تتقاطع ويمكن ملاحظة ذلك بسهولة اذا نظر الانسان إلى خطوط الطول على سطح الكرة الأرضية حيث تتقاطع عند القطبين بالرغم من كونها متوازية عند خط الإستواء وكان من رأي ريمان أن هذه الهنسة غير مناسبة للسطوح وتصور إمكانية تطبيقها في ثلاثة أبعاد أو أربعة أبعاد أو أكثر من ذلك. .. .