منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

06-08-2009, 02:17 AM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة uniquesailor [ مشاهدة المشاركة ]

أخي مراد أتمنى مراجعة تفاصيل الحل فأنا متعجب
فإما إنها ناقصة أو خاطئة

أخي الكريم سيزول تعجبك و سأضع الحل المفصل كما طلبت

نضع:
${S}_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)...(k+m)}=\sum_{k=1}^{n}{a}_{k}$
نقوم بتحليل الحد العام للمتسلسلة على النحو التالي:
${a}_{k}=\frac{1}{k(k+1)(k+2)...(k+m)}=\frac{A}{k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}+\frac{B}{(k+1)(k+2)...(k+m)}$
حيث نجد الثابتين A و B
$A={\left( \frac{1}{k+m}\right)}_{k=0}=\frac{1}{m}$
$B={\left( \frac{1}{k}\right)}_{k=-m}=\frac{-1}{m}$
و منه نحصل على
${S}_{n}=\frac{1}{m}\left( \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)...(k+m-1)}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(k+1)(k+2)...(k+m)}\right)$
بجمع حدود المتسلسلة حدابحد نجد
${S}_{n}=\frac{1}{m}\left(\frac{1}{1.2.3...m}-\frac{1}{(n+1)(n+2)...(n+m)} \right)$
و بأخذ النهاية لما n يؤول الى مالانهاية
$\lim_{n\rightarrow +oo}{S}_{n}=S=\frac{1}{m}\left( \frac{1}{1.2.3...m}\right)=\frac{1}{m.m!}$
أرجو أن تكون خطوات الحل واضحة و المعذرة للمرة الثانية في تقصيري في الحل