وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته ...

معظم المسائل التى تتطلب إثبات عدد ما أنه غير قياسى يكون باستخدام البرهان بالتناقض ....

نفرض العكس أن جذر 3 عدد قياسى (جذري) ينتمى للمجموعة Q
إذن يمكن كتابته على الصورة p/q حيث p , q فى أبسط صورة ، q لا تساوى الصفر ...




بالتربيع





وهذا يؤدي إلى أن p عدد يقبل القسمة على 3 ويمكن كتابته على صورة
p = 3 m

وبالتعويض عن p بدلالة m ينتج أن :



بالقسمة على 3 ينتج أن :


وهذا يؤدي إلى أن q تربيع عدد يقبل القسمة على 3 وبالتالى q أيضا يقبل القسمة على 3 ويمكن كتابته على صورة :
q = 3 n

يتضح أن كلا من p , q يقبلان القسمة على 3

وهذا يناقض الفرض أن كليهما فى أبسط صورة...

إذن جذر 3 لا يمكن كتابته على صورة p/q

وبالتالى فهو عدد غير قياسى ...

والله أعلم.