منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

17-08-2007, 06:06 PM

سنجيب في هذه المشاركة عن السؤال :

لماذا بعض التكاملات مثل : غير أولية

و البعض الآخر أولي مثل :

سأعطيكم جوابا سريعا ، نظرية تشيبيشييف Chebyshev's Theorem -1853:

إذا كان p , q , r أعدادا نسبية و a , b أعدادا حقيقية بحيث

a , b ,r غير منعدمة (لا تساوي الصفر ) فإن :

$\int{x^p(a+bx^r)^q dx}$

يكون أولي (يمكن التعبير عنه بعلاقة بين دوال اولية بسيطة ) إذا و فقط إذا

واحد من :

$\frac{p+1}{r} , q , \frac{p+1}{r}+q$

على الأقل هو عدد صحيح

كيف يمكن استخدام هذه النظرية لتعليل الجملة الواردة أعلاه ؟

غير أولية ، نستطيع رؤية ذلك بالتعويض ، مثلا نضع sinx = u

du = cosx dx ،

${\huge cosx = \sqrt{1-sin^2 x}= \sqrt{1-u^2}= (1-u^2)^{\frac{1}{2$
و يصبح التكامل :

$\int{u^{\frac{1}{2}}(1-u^2)^{\frac {-1}{2}} du}$

هنا :

$p = \frac{1}{2}, r = 2 , q =\frac{-1}{2}$

$\frac{p+1}{r} = \frac{3}{4} , q =\frac{-1}{2},\frac{p+1}{r}+q = \frac{1}{4}$

و لا واحد عدد صحيح ، إذا التكامل غير أولي

بالنسبة لـ :

هو اولي ، يمكنك أن تجرّب ( u² = tanx )

أسئلة :

حدد نوع التكامل ( أولي أم غير أولي ، أرجو أن تحلوها) لكل من التكاملات التالية :

$\int{\sqrt[3]{1+x^2}dx}$

السؤال الآن : هل هذه النظرية تصنّف جميع التكاملات إلى اولي و غير اولي

مثلا

$\int{\sqrt{lnx}dx}$

الجواب لا ، و للحديث بقية