لإثبات أن الزمرة إبدالية يجب إثبات أن س*ص=ص*س وليس لدينا سوى المعلومة س^2= أ (حيث أ هو العنصر المحايد) وأن (س،*) زمرة
(س*ص)^2=1 وفقا للمعطى
ولكن (س*ص)^2=(س*ص)*(س*ص) وعليه
(س*ص)*(س*ص)=1
بالضرب من اليمين في معكوس س ومن اليسار في معكوس ص مع الإنتباه أن كل منهم موجود لأن (س،*) زمرة
أ*ص*س*أ=س^-1*ص*س^-1
ص*س=(س*ص)^-1 حسب قانون المعكوس (1)
وحيث أن (س*ص)^2=1
بضرب طرفي المعادلة في (س*ص)^-1 يكون
س*ص=(س*ص)^-1 (2)
من (1)،(2) ينتج أن
ص*س=س*ص وهو المطلوب لكي تكون الزمرة إبدالية
مع تحياتي
د. أسامه عجمي