وكنظرة سريعة على القطوع الطارية (أو الحلزونية):
يمكن تعريفها بأنها تقاطع مستوي مع طارة. والطارة هي السطح الذي نحصل عليه بدوران دائرة حول محور

(يكون في مستوي الدائرة ولا يقطعها). انظر الشكل

وهذا الموضوع ليس جديدا إذ نجد لدى الإغريق (برسوس Perseus الذي عاش نحو 250 قبل الميلاد) عملا يتناول هذا الموضوع.

لكن القطوع الطارية لم تنل حظا وافرا من الاهتمام خلافا للقطوع المخروطية.
انقر هنا لرؤية بعض أنواع الأشكال التي نحصل عليها في تقاطع طارة مع مستوي.

3 مواقع هامة
http://fr.wikipedia.org/wiki/Mathématiques
http://www.mathcurve.com/courbes2d

********************

منيشيم Menechme :

تلمذ منيشيم Menechme ، على إفلاطون وأودوكسEudoxe ، واهتم اهتماما خاصا بالقطوع المخروطية فعرّفها كتقاطع مستويات مع مخروطات.

وهكذا صنف منيشيم القطوع حسب الزاوية التي يشكلها المستوي القاطع مع إحدى مولدات المخروط:

إن كانت الزاوية حادة فالقطع قطع ناقص، وإن كانت الزاوية قائمة فالقطع قطع مكافئ، وإن كانت الزاوية منفرجة فالقطع زائد.

في الشكل التالي نلاحظ القطع المكافئ المحصل عليه عندما تكون مولدة المخروط عمودية على المستوي القاطع

(القطع المكافئ يمثل المنحنى الذي ترسمه قذيفة من لحظة قذفها حتى سقوطها على الأرض : بارابولا تعني الرمي جانبا):

********************

أبولونيوس دي بيرغا :

أما أبولونيوس دي بيرغا Apollonios de Perga ، فى (-262/-180 قبل الميلاد) فألّف كتابا شاملا نال شهرة كبيرة حول القطوع المخروطية (وله يرجع الفضل في هذه التسمية) ضمنه العديد من النتائج الهندسية.

ويبدو أن أبولنيوس قام بهذه الدراسة عندما كان بصدد النظر إلى المسألة الشهيرة المعروفة باسم تضعيف المكعب التي كان قد اهتم بها قبله منيشيم ... وكانت قد طرحت 6 قرون قبل الميلاد.

درس أبولونيوس القطعين الزائد والناقص باستخدام المحرقين (التسمية لكبلر Kepler) المتناظرين بالنسبة لمركز القطع.

لكنه لم يقل شيئا بخصوص القطع المكافئ على الأقل في المخطوطات التي وصلت إلى المؤرخين.

وأبولونيوس هو الذي قدم تعريف القطعين الناقص والزائد بالمحرقين المجموع (المسافتين اللتين تفصلان المحرقين عن النقطة) ثابت والفرق ثابت.

ولأبولنيوس نظريات هندسية أخرى لا تتعلق بالمخروطات.

********************

بابوس Pappus Dioclès فى (300-360 م)

واصل عمل أبولنيوس حول المخروطات .... وقد اهتم وقدم بابوس دراسة كاملة للمخروطات بالمحرق والدليل باستخدام النسبة MF/MH=e (البعد المركزي).

ولم تظهر فكرة المخروطات بوصفها منحنيات جبرية (ليبنيتز Leibniz هو صاحب هذه التسمية) إلا في القرن 17 م ضمن أعمال ديكارت Descartes وواليس Wallis.

********************

اهتم العرب والمسلمون بموضوع القطوع المخروطية اهتماما بالغا. وترجم ابن أبي هلال (القرن 9م) بعض أجزاء كتاب المخروطات لأبولنيوس في أحوال الخطوط المنحنية وأكمل ثابت بن قرة (835م-900م) ترجمة بقية هذا الكتاب المرجع، وألف أيضا في هذا الموضوع.

كما ألف ابن الهيثم العديد من الكتب والمقالات نذكر منها
كتاب في بركار القطوع،
ومقالة في مساحة المجسم المكافئ،
ومقالة في المرايا المحرقة بالدوائر،
ومقالة في المرايا المحرقة بالقطوع،
ومقالة في خواص القطع المكافئ،
ومقالة في خواص القطع الزائد،
وكتاب تلخيص مقالات أبولنيوس في مقطوع المخروطات.

وهذا إبراهيم بن سنان بن ثابت (908-947م)، حفيد ثابت بن قرة، يؤلف كتابا بعنوان "مقالة في رسم القطوع الثلاثة" نجد فيه كل أنواع القطوع المخروطية معينًا بيانيا العديد من نقاط تلك القطوع. ولإبراهيم بن سنان مؤلف آخر حول المخروطات سماه "كتاب ما وجد من تفسيره للمقالة الأولى من المخروطات".

وهناك في التراث العربي كتاب بعنوان "الشكل المدور المستطيل" لأحد الأخوة بني موسى استعرض فيه القطع الناقص بالطريقة التي يستعملها البستانيون اليوم لرسم الأحواض ذات الشكل الناقصي (الاهليلجي)، وهي الطريقة المتمثلة في ربط حبل بمسمارين وإدارة نقطة من الحبل بمسمار آخر فيرسم على الأرض قطعا ناقصا.

ومن الذين انشغلوا بالقطوع المخروطية أبو جعفر الخازن الخرساني (القرن 10م).

وأشار إلى الرياضي والفلكي الخازن العديد من المؤرخين الغربيين في مطلع القرن العشرين مثل سمث Smith، الذي أوضح بأن الخازن من أولئك الذين حلوا المعادلات التكعيبية بواسطة القطوع المخروطية.

وأكد ذلك كاجوريCajori بالقول "إن أبا جعفر أول عربي حلّ المعادلات التكعيبية هندسيا بواسطة قطوع المخروط".

أما عمر الخيام فيقول بشأن الخازن : "وإن فيها [أي صناعة الجبر والمقابلة] أصنافا يُحتاج فيها إلى أصناف من المقدمات ... متعذر حلها على أكثر الناظرين فيها. أما المتقدمون فلم يصل إلينا منهم كلام فيها، لعلهم لم يتفطنوا لها بعد الطلب والنظر، أو لم يضطر البحث إياهم إلى النظر فيها، أو لم ينقل إلى لساننا كلامهم فيها. وأما المتأخرون فقد عنَّ للماهاني منهم تحليل المقدمة التي استعملها أرشميدس مسلمة في الشكل الرابع من المقالة الثانية من كتابه في الكرة والاسطوانة، بالجبر، فتأدى إلى كعاب وأموال وأعداد متعادلة فلم يتفق له حلها بعد أن أفكر فيها مليا. فجزم القضاء بأنه ممتنع حتى نبغ أبو جعفر الخازن وحلها بالقطوع المخروطية."

وهناك جانب آخر للقطوع المخروطية اهتم به بعض العلماء العرب والمسلمين، وهو صناعة آلة – سميت البركار التام - قادرة على رسم هذه القطوع.

فقد توصل أبو سهل الكوهي (القرن 10-11م) إلى تصميم آلة خاصة تنشئ بشكل متواصل القطوع المخروطية، حيث نجد في إحدى مخطوطاته دراسة إمكانية رسم المنحنيات المخروطية.

كما صاغ نظرية هذه المنحنيات. ويعتبر المؤرخون هذه الدراسة على مستوى عال بالنسبة لعصر الكوهي. وللبركار التام ذراع ذو طول متغير وذراع آخر مثبّت.

يشكل الذراعان زاوية ثابتة مع سطح الرسم، وعندما تدار هذه الآلة يحدد ذراعها الأول مساحة مخروطية وتقاطع هذه المساحة مع ذلك السطح يشكل قطعا مخروطيا يحدد نوعه وفق اختيارنا لزاوية الذراعين.

وقد تبيّن مؤخرا أن أحد الرياضيين، وهو أبو سعد العلاء بن سهل (القرن 10م) قد أنشأ نظاما آليا لرسم قطوع مخروطية بشكل متواصل وليس متقطعا. ودرس ابن سهل أيضا المرايا المحرقة ثم العدسات المحرقة. فتناول المرآة المحرقة بالقطع المكافئ عندما نريد إحراق جسم على مسافة معلومة، ثم العدسة المسطحة المحدبة والعدسة المحدبة الوجهين. وقد احتاج إلى قانون انكسار الضوء في دراسته للعدسات فرجع إلى ما كتبه بطليموس في البصريات.

والكتاب الذي أثار دهشة المؤرخين مؤخرا هو كتاب الحرّاقات الذي استهله ابن سهل بالتوضيحات التالية : " وقد غَبرت دهرا أبحث عن حقيقة ما يُنحَل أصحاب التعاليم من القدرة على إحراق جسم بضوء على مسافة بعيدة، ويضاف إلى أرشميدس من إحراقه سفن الأعداء بهذا الضرب من الحيل حتى عرفت جملة الحال فيه، وتعقّبتها بالتفصيل فاستعنت عليه بما وجدته من كتب القدماء وانتزعت منها ما تضمّنت به، وهو وصف الإحراق بضوء الشمس المنعكس عن مرآة على مسافة قريبة، ونوع من الإحراق بضوء جسم قريب ينعكس عن مرآة. وواصلت النظر فيما لم يتضمن منه حتى استخرجته وهو وصف الإحراق بضوء الشمس الذي ينفذ في آلة وينعطف في الهواء".

كما اهتم بموضوع الآلات في كتاب معروف بكتاب "جامع المبادئ والغايات في علم الميقات" أحد العلماء المغاربة، وهو الحسن المراكشي (توفي عام 1262م). وقد ذاع صيت هذا الرجل في علم الفلك والميقات والرياضيات والجغرافيا واشتهر في صناعة الساعات الشمسية. يصف المؤرخ الغربي سديو Sedillot كتاب جامع الغايات بالعبارات التالية :

" ... به أول استعمال الخطوط الدالة على الساعات المتساوية، فإن اليونان لم يستعملوها قط. وقد فصّل صناعة الخطوط الدالة على الساعات الزمنية المسماة أيضا الساعات القديمة والمتفاضلة واليهودية. واستعمل خواص القطوع المخروطية في وصف أقواس البروج الفلكية، وحسب خطوط المعادلة ومحاور تلك المنحنيات لمعرفة عرض محل الشمس وانحرافها وارتفاع الربع الميقاتي".
ومن النصوص الكثيرة المتعلقة بالمخروطات في التراث العربي النص التالي للكوهي الموجود ضمن رسالة أرسل بها إلى أبي اسحاق الصابي ردا على خطاب يستفسر فيه عن بعض المسائل " ...

أما في المقالات الأربع التي عملتها ها هنا فقد ظهر لنا فيه أشياء عجيبة تدل كلها على نظم أفعال الباري عز وجل. منها أنه إذا أدرنا نصف دائرة أب جـ حول خط ب د القائم على خط أجـ حتى يحدث من إدارة نصف الدائرة نصف الكرة، ومن القطع المكافئ مجسم المكافئ، ومن المثلث مخروط فيكون المخروط مجسما للمثلث كالجسم المكافئ للقطع المكافئ، ونصف الكرة لنصف الدائرة، فمركز ثقل مجسم المثلث، أعني المخروط، يقع على نسبة الواحد إلى أربعة والمجسم المكافئ على نسبة الاثنين إلى ستة، ونصف الكرة على نسبة الثلاثة إلى الثمانية ... ".

***************

القطع الزائد ذو المعادلة القطبية

القطوع الطارية (أو الحلزونية)

إليك بعض أنواع الأشكال التي نحصل عليها في تقاطع طارة مع مستوي :

يتبع .... ،