منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

13-06-2009, 01:41 PM

بسم الله
المعدلات الدالية التي ليست معرفة عند الصفر

تستعمل فيها نفس الطريقة ولكن هده المرة بالبحث عن قيمة $f(1)$
ودالك من أجل التبسيط

ملاحظة

غالبا ما تجد $f(1)=1$ أو $f(1)=0$

مثال

حدد جميع الدوال الحقيقية الموجبة قطعا من مجموعة إنطلاقها
و التي تحقق $f(x)f(y)=f(xy)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$
لكل عددين حقيقيين $x$ و $y$ موجبين قطعا

الجواب

بأخد $y=1$

نجد $f(x)f(1)=f(x)+\frac{1}{x}+1$

لكل $x$ غير منعدم

مرة أخرى نأخد $x=1$ نجد

$f(1)^2-f(1)=2$

إدن $f(1)=-1$ أو $f(1)=2$

$f(1)\neq 1$ عوض وسترى
إدن $f(x)=\frac{1}{1-f(1)}\bigg(1+\frac{1}{x}\bigg)$

وفي حالة $f(1)=2$

وبالتعويض المباشر في العلاقة نجد

$f(x)=x+\frac{1}{x}$ هي الدالة الوحيدة التي تحقق المطلوب