منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

04-08-2009, 08:10 PM

السلام عليكم ورحمة الله

محاولتي لحل السؤال :

لدينا التكامل :
$\\ \int_{0}^{ln\: 4}\frac{e^x}{\sqrt {e^{2x}+9}}dx$

باستخدام التعويض :

$\\ e^x = 3 sinh\; y \\y=sinh^{-1} \frac{e^x}{3} \\ \\ dx =\frac{ 3 cosh\; y }{e^x} dy \\ \\ \int_{y1}^{y2} \frac{3coshy}{\sqrt{9sinh^2y+9}}dy \\ = [y]^{y2}_{y1}$

ثم بالتعويض عن y :

$\\= [sinh^-1 \frac{e^x}{3}]^{ln4}_0 \\ = sinh^-1 \frac{4}{3}- sinh^-1 \frac{1}{3} =R - N =I \\ \frac{e^R - e^{-R} }{2}= \frac{4}{3} \\ e^{2R} - \frac{8}{3}e^R-1=0 \\e^R=\frac{ \frac{8}{3}\pm \sqrt{\frac{64}{9}+4}}{2} \\ R = ln{(\frac{4}{3}+ \frac{5}{3})}=ln3 \\ \frac{e^N - e^{-N} }{2}= \frac{1}{3} \\ e^{2N }- \frac{2}{3}e^N-1=0 \\e^N=\frac{ \frac{2}{3}\pm \sqrt{\frac{4}{9}+4}}{2} \\e^N=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt {10} }{3} \\N=ln{(\frac{1}{3}+\frac{\sqrt {10} }{3})} \\ I =R-N= ln{(\frac{9}{1+\sqrt {10}})}$