لنصغ ما قلناه على شكل نظرية نرجع إليها لاحقا:

نظرية 1 : إذا كان و حلان للمعادلة فإن كلّا من

هو حل للمعادلة السابقة.

ونذكر أيضا النتيجة:

نتيجة 2 : إذا كان حل للمعادلة فإن

حل للمعادلة السابقة أيضا.


الآن، نستطيع تعميم المسألة بقول أنه لو كان حل للمعادلة و في نفس الوقت كان حل للمعادلة فإن كلا الزوجين المرتبين التاليين

حلين للمعادلة:

وهذا واضح حسب ما أوردنا أعلاه.

تعميم 3 (نظرية “Brahmagupta”): إذا كان حل للمعادلة و كان حل للمعادلة فإن كلّا من

حلين للمعادلة



أيضا، إحدى الخصائص المهمة، إذا كان حل للمعادلة ، فإنه واضح أن هو حل للمعادلة ، و بالقسمة على نجد أن:

هو عبارة عن حل لمعادلة “بل”:

وهذه الصيغة تساعدنا في إكتشاف الحل في حالات خاصة متعددة، كما في حال كان ، لأننا لو وجدنا حل للمعادلة وليكن ، نجد:

بالتالي فإن الحلول الأخرى تكون:

(تذكر: الحلول الأخيرة للمعادلة و ليس للمعادلة ، هذا يعني أنك تستطيع استعمال المعادلة الثانية لحل الأولى حسب نظرية1).


كمثال، لنأخذ المعادلة .
لاحظ أنه يصعب الحصول على حل ابتدائي، والذي يمكّننا من استنتاج بقية الحلول بسهولة و يسر، لذا نلجأ للتحايل، لنحل المعادلة بدلا من ذلك، واضح أنه أول حل يخطر على البال هو ، أي أن . الآن ماذا سيفيدنا؟ حسب ما أوردنا سابقا الحل سيكون:

ويمكنك اعتباره الحل الأولي ثم تستنتج الحلول الأخرى باستخدام نظرية 1.