السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ...

تمرين بالمنتدى لحله استخدم فيه الأستاذ / حسام محمد ... هذه النظرية على الرابط
http://www.uaemath.com/ar/aforum/sho...?t=1450&page=4

وهناك ألغاز وردت بالمنتدى ... يمكن استخدام فيها هذه النظرية ... من أمثلة هذه الألغاز والتى يمكن استخدام النظرية لحلها :

عدد إذا قسمته على 2 كان الباقي 1
وإذا قسمته على 3 كان الباقي 2
وإذا قسمته على 4 كان الباقي 3
وإذا قسمته على 5 كان الباقي 4
وإذا قسمته على 6 كان الباقي 5
فما هو هذا العدد ؟
لحل هذا اللغز رياضيا ... لا تخمينيا ... فلا بد من استخدام Chinese remainder theorem ...

فما هى هذه النظرية ؟

********************

نظرية الباقي الصينية Chinese remainder theorem

هى احدى نظريات الأعداد أو يمكن القول بأنها مبرهنة من المبرهنات الرياضية .... والتى تتعدد وتشمل :
مبرهنة آبل ....مبرهنة الكاشي ...مبرهنة ابري ....مبرهنة باير ...مبرهنة بايز ....مبرهنة بيرنولي .....مبرهنة بيزوت .....مبرهنة برون ....مبرهنة كنتور ....مبرهنة كتالان .....مبرهنة كوشي .....مبرهنة أولير ......مبرهنة فيرما ....مبرهنة فيرما الأخيرة ....مبرهنة كوس .....حدسية كوس .....مبرهنة هاملتون ....مبرهنة هاين ..........مبرهنة كلين ....مبرهنة كونيغ .....حدسية كونيغ ....مبرهنة هير .....مبرهنة لايبنيز ....مبرهنة الأعداد الأولية .....مبرهنة باسكال ....مبرهنة فيثاغورس .........مبرهنة طاليس ....مبرهنة الألوان الأربعة ....مبرهنة رادون ....مبرهنة رول .....مبرهنة شوارز ....حدسية شوارز ....مبرهنة سيمسون ....مبرهنة ستاينر .......مبرهنة تايلور...

وهى جزء من الرياضيات القديمة ... وقد كانت تلك النظرية ضمن كتاب كتب في أواخر القرن الثالث بعد الميلاد من قبل عالم رياضيات يسمى صن تسو ... للتعريف به من موسوعة ويكبيديا Sun Tzu ....
( لا ينبغي الخلط بينه و بين الاستراتيجي العسكري الذي يحمل نفس الاسم).

استخدمت النظرية لغرض تبسيط الحسابات الكبيرة عن طريق تجزئتها الى العديد من الأجزاء الأصغر، والتي يمكن إعادة تركيب نتائجها لايجاد الحل للمسالة الأصلية.

كانت إحدى المسائل التي عالجها الكتاب الأصلي تتعلق بعدد الجنود. فقد كان حل صن تسو يتمثل في ضرورة تقسيم الجنود أولا الى مجموعات من ثلاثة، و من ثم مجموعات من خمسة، وبعدها مجموعات من سبعة، أما العدد الذي يكون غير قادر على الانضمام الى مجموعة ما (بكلام آخر، الباقي ) فيسجل في كل مرة.

يمكن ان تستخدم المتبقيات الثلاثة بعدها لاحتساب عدد الجنود الحاضرين.

فعلى سبيل المثال، اذا ما تبقى اثنان من المجموعات المتكونة من ثلاثة، و ثلاثة من المجموعات التي تتكون من خمسة و اثنان من المجموعات المتكونة من سبعة، فسيكون هنالك في الوحدة 23 جندياً( او من المحتمل 233، و لكن الفرق ينبغي ان يكون واضحا حتى لأكثر الضباط القادة غباء).

للتعرف على المزيد حل النظرية يمكن الإطلاع على الرابط
http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_Remainder_Theorem

هذه ملفات (باللغة الإنجليزية ) ... ولكنها تشرح بصورة مبسطة للغاية كيفية استخدام هذه النظرية لحل المعادلات ....

http://www.eclasshome.com/attach/upl...h_22138672.pdf

http://www.eclasshome.com/attach/upl...h_15522461.pdf

http://www.eclasshome.com/attach/upl...h_54948731.pdf

********************

تمرين :

أوجد أصغر عدد صحيح موجب بحيث إذا قسم على 3 يتبقي 1 واذا قسم على 4 يتبقي 2 وإذا قسم على 5 يتبقى 3 ؟

********************

الحل :

(باستخدام نظرية الباقى الصينية) :

x = 1 mod 3 المعادلة الأولى
x = 2 mod 4 المعادلة الثانية
x = 3 mod 5 المعادلة الثالثة

من المعادلة الأولى .... والتعويض فى المعادلة الثانية ينتج :
x = 3 y + 1 = 2 mod 4 ------ المعادلة الرابعة




وبالقسمة على 3
y = 3 mod 4

ويمكن كتابتها بدلالة متغير آخر وليكن z
y = 4 z + 3

ومن المعادلة الثالثة والرابعة :
x = 3 y + 1 = 3 mod 5



وبالقسمة ينتج أن
y = 4 mod 5

وبالتعويض عن y بدلالة z ينتج أن :


ومنها
z = 4 mod 5

y = 4 z + 3 = 19
x = 3 y + 1 = 58
وهو الذى يحقق النظام


وبذلك ينتج أن أصغر عدد صحيح موجب إذا قسم على 3 يتبقي 1 واذا قسم على 4 يتبقي 2 وإذا قسم على 5 يتبقى 3 هو العدد (58)...

وهناك أيضا حل آخر يمكنك التعرف عليه من الملفات المرفقة ...


اذا كانت n1, n2, …, nk أعداد أولية نسبيا فإنه لأى أعداد صحيحة a1,a2, …, ak, يوجد للنظام التالي



حل وحيد



راجع الرابط
http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_Remainder_Theorem

للتعرف على قائمة المبرهنات الرياضية اضغط هنا

********************

ملاحظة /
هذا الموضوع من جهدى الشخصى ... فإن كان به من توفيق فمن الله وحده ... وإن كان فيه من خطأ فهو غير مقصود ... وأرجو من أساتذتى الكرام بالمنتدى تصحيح ما به من خطأ قد يرد فيه....

وفقكم الله .... ،