منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

07-08-2009, 09:08 PM

السلام عليكم و رحمة الله
طريقة حل ثانية
بوضع:
$I=\int\left( {\left( \frac{x}{e}\right)}^{x}+{\left( \frac{e}{x}\right)}^{x}\right).lnxdx$
${\left( \frac{x}{e}\right)}^{x}+{\left( \frac{e}{x}\right)}^{x}={e}^{x(lnx-1)}+{e}^{-x(lnx-1)}=2cosh\left(x(lnx-1) \right)$
$\Rightarrow I=2\int cosh\left(x(lnx-1) \right).lnxdx$
$Let u=x(lnx-1)\Rightarrow du=lnxdx$
$\Rightarrow I=2\int cosh(u)du=2sinh(u)+C$
$\Rightarrow I=2sinh\left( x(lnx-1)\right)+C={\left( \frac{x}{e}\right)}^{x}-{\left( \frac{e}{x}\right)}^{x}+C$