بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم و رحمة الله و بركاته ،
طلب إلينا بعض الإخوة و الاخوات وضع دروس في نظرية الأعداد (Number Theory ) و ذلك لقلة الاهتمام بهذا الفرع من الرياضيات بالرغم من أهميته.
و قد أبدى البعض رغبته في أن نلقي الضوء على مفهوم القياس ( mod) و التوسع في شرح خصائصه و العمليات المصاحبة له.
سنقوم بعد التوكل على الله بوضع سلسلة دروس تتناول هذا الموضوع كاملا و وضع بعض التمارين عقب كل درس ليتم حلها بالتعاون مع الأعضاء الكرام.
مـقـدمـــــــــــــــــــ ــة
يعنى فرع نظرية الأعداد بدراسة خصائص الأعداد الطبيعية ( Natural Numbers )
و التي يطلق عليها مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ).
تمت دراسة هذه الخصائص منذ أوقات بعيدة تعود إلى قبل الميلاد ، على سبيل المثال :
المعادلة : س 2 + ص 2 = ع 2 ( x2 + y2 = z2 )
لها عدد لا نهائي من الحلول في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ) ، بينما المعادلات :
س 3 + ص 3 = ع 3 ( x3 + y3 = z3 )
س 4 + ص 4 = ع 4 ( x4 + y4 = z4 )
ليس لهما حلول على الإطلاق في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ).
هناك عدد لا نهائي من الاعداد الأولية ، العدد الاولي هو عدد طبيعي مثل 23 لا يمكن كتابته بشكل ضرب عددين طبيعيين أصغر (عوامل - Factors ) على عكس
33 و هو غير أولي : 33 = 3 × 11 .
حقيقة أن متسلسلة الأعداد الأولية ( Sequence of primes ) :
2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، ..........
هي متسلسلة غير محدودة منسوبة إلى إقليدس ( Euclid ) الذي عاش حوالي
350 قبل الميلاد ، هناك الكثير من المسائل الغير محلولة في نظرية الإعداد.
لعل أشهر مثال هو نظرية فيرما الأخيرة ( Fermat's Last Theorem ) ، و هي التي استعصت على البرهان حتى عام 1994 .
صرّح بيير دي فيرما ( Pierre de Fermat : 1601 - 1665 ) بوجود برهان لديه
للتالي :
المعادلة : س ن + ص ن = ع ن
xn + yn = zn
ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers )
لكل ن > 2 ( For every n > 2 ) .
أضاف فيرما أن هامش الكتاب كان صغيرا جدا ليكتب البرهان عليه.
هناك بعض المفاهيم في نظرية الأعداد من الضروري
أن نعرضها قبل البدء بالدروس :
النتائج العامة في نظرية الأعداد عادة ما تعتمد على الملاحظات المعتمدة على
التجربة ( Empirical Observations) ، قد تلاحظ أن كل عدد طبيعي ( Natural Number ) حتى 1000 مثلا يمكن كتابته على شكل مجموع مربعات 4 أعداد طبيعية ( Sum of four squares ) :
1000 2 = 30 2 + 10 2 + 0 2 + 0 2
999 2 = 30 2 + 9 2 + 3 2 + 3 2
قد يكون من المشجع أن تخمّن ( Conjecture ) أن كل عدد طبيعي يمكن التعبير عنه كمجموع لمربعات أربعة أعداد طبيعية ( Sum of Four squares )
و هذا صحيح و هي نظرية يطلق عليها نظرية المربعات الأربعة (Sum of Four Squares Theorem) قد وضع البرهان الأول لها لاجرانج ( Lagrange : 1736 - 1813 ) سنقوم بوضع برهانها في سياق هذه السلسلة من الدروس.
بالطبع ، المخّمَنة ( Conjecture ) المعتمدة على التجربة و بعض الأمثلة قد يثبت خطؤها ، يكفي أن تأتي بمثال مضاد ( Counter Example ) واحد يخالف نتيجتها لكي تثبت بطلانها.
مثال : قام ليونارد أويلر ( Leonhard Euler : 1707 - 1783 ) بتخمين أنه لا يمكن
كتابة أس ( Exponent ) لعدد طبيعي كمجموع لأعداد طبيعية أقل من نفس الأس ، على سبيل المثال :
مكعب ( Cube ) عدد طبيعي لا يمكن كتابته كمجموع لمكعبات أعداد طبيعية
أقل منه ، و هذا صحيح و سيرد البرهان في سياق هذه السلسلة.
أول مثال مضاد ( Counter Example ) لهذه المخّمَنة (Conjecture ) تم تقديمه
في عام 1968 :
144 5 = 27 5 + 84 5 + 110 5 + 133 5
على أية حال ، التجربة و الملاحظة ( Empirical Observations ) لها أهمية في
إكتشاف النتائج العامة و اختبار صحة المخّمَنات ( Conjectures ) و هي مهمة
أيضا لفهم النظريات و لذلك ينصح الدارس ببناء أمثلة عددية خاصة به عندما
تكون النظرية غير مفهومة تماما.
إلى الدرس الأول : قابلية القسمة