الدرس الأول : قابلية القسمة ( Divisibility )
تعريف 1.1 يكون العدد الصحيح ب قابلا للقسمة(Divisible) على العدد الصحيح أ (أ لا يساوي الصفر) ، إذا وجد عددا صحيحا ك بحيث:
ب = أ × ك و نكتبها ب | أ ( a | b )
a | b : b = ax for some x , a , b and x are integers and a is not zero
ملحوظة : عندما نستخدم أحد التعبيرين : " قابل للقسمة" أو " يقسم على"
نعني أنه يقسم عليه بدون باقي.
أمثلة : 10 | 2 لأن 10 = 2 × 5
0 | 20 لأن 0 = 0 2× 0
من الواضح أننا لا نستطيع وضع الصفر على الجهة اليسار
يمكننا التعبير عن قابلية القسمة ( Divisibility ) بلغة أخرى :
ب| أ : أ هو قاسم ( Divides) للعدد ب و أ هي عامل ( Divisor ) من عوامل ب
و ب هي مضاعف ( Multiple ) للعدد أ
مثال : 20| 5 :
20 تقسم ( Divisible) على 5
5 قاسم ( Divides ) للعدد 20
5 عاملا (Divisor ) للعدد 20
20 مضاعف (Multiple ) للعدد 5
نظرية 1.1
(1) ب | أ تعطي ب جـ | أ لأي جـ عدد صحيح
for any integer c 
(2) ب | أ و جـ | ب تعطي جـ | أ
(3) ب | أ و جـ | أ تعطي ب س + جـ ص | أ لأي س و ص أعداد صحيحة
(4) ب | أ و أ | ب تعطي أ = +- ب
(5) إذا كان العددين أ و ب صحيحين موجبين و كان ب | أ يكون أ 
ب
(بمعنى آخر ب هو الأكبر بين قواسمه )
البرهان :
(1) ب | أ ، إذا يوجد ك عدد صحيح بشرط ب = أ × ك
بضرب الطرفين بـ جـ : ب جـ = أ × (ك جـ) ، ك جـ عدد صحيح لتكن كَ = ك جـ
إذا ب جـ = أ × كَ و منها ب جـ | أ
(2) متروكة للقارىء
(3) ب | أ و جـ | أ تعطي ب = أ × ك و جـ = أ × كَ
إذا
ب س + جـ ص = ( أك )س + ( أكَ ) ص = أ( ك س ) + أ ( كَ ص )
ب س + جـ ص = أ ( ك س + كَ ص ) و منها ب س + جـ ص | أ
لأنها تساوي أ مضروبة بالعدد الصحيح ( ك س + كَ ص )
(4) متروكة للقارىء
( 5 ) ب | أ تعني ب = أ × ك 
أ
حقائق :
(1) العدد الصحيح الزوجي نعبّر عنه بالشكل 2 ك
و العدد الصحيح الفردي نعبّر عنه بالشكل 2 ك + 1 ، حيث ك عدد صحيح
(2) عندما نقسم عددا صحيحا على 3 يكون باقي القسمة أحد الأعداد
0 ، 1 ، 2 . ينتج عن ذلك أي عدد صحيح يمكن كتابته على الشكل(ك عدد صحيح) :
3 ك ، 12 = 3 × 4
3ك + 1 ، 22 = 3 × 7 + 1
3ك + 2 ، 32 = 3 × 10 + 2
و أكثر من ذلك ، خذ أي ثلاثة أعداد صحيحة متتالية ، أحدهم يجب أن يقسم على 3 .
السبب : أي عدد صحيح يمكن كتابته على الشكل :
3ك أو 3ك + 1 أو 3ك + 2 و كما ترى هي متتالية و أحدها 3ك يقسم على 3