السلام عليكم :
الأعداد هي : 1 , 2, 4 (هذه حالة فقط) بالفعل : لتكن أ ,ب , ج أعداد تشكل بهذا الترتيب حدود متتابعة من متتالية هندسية بحيث :
أ+ب+ج = 7 .....(1) و أ^3 + ب^3 + ج^3=73 ....(2)
أولا نذكر بالعلاقة التالية :
(س+ع)^3= س^3+3س^2 ع+3س ع^2+ ع^3 ....(3)
نضع : س=ب ع = أ+ج
إذن حسب الشرط (1) (س+ع)^3 = 343 ....(4)
وبتطبيق العلاقة (3) يمكن التوصل للمعادلة التالية :
343=(أ^3 + ب^3 + ج^3)+6ب^2 .(أ+ج) +3ب(أ^2+ج^2)+6ب^3=73+6ب^2 .(7-ب) +3ب(أ^2+ج^2)+6ب^3 =73+42ب^2 +3ب(أ^2+ج^2).....(5)
ولكن : أ^2+ج^2= (أ+ج)^2-2أ.ج=(7-ب)^2-2 ب^2=49-14ب-ب^2
و بتعويض العلاقة الأخيرة في العلاقة (5)ينتج:
3ب^3 - 147 ب+270 =0
أي أنّ : ب^3 - 49 ب+90=0 ....(6)
نلاحظ أنّ 2 حل للمعادلة (6) ونالتالي يمكن كتابة العلاقة (6)كما يلي:
(ب-2)(ب^2+2ب-45)=0 وهذا يعني أن :
ب=2 أو ب^2+2ب-45=0 ...(7)
وحلول المعادلة (7) هي : -1+جذر(46) , -1-جذر(46)
وبالتالي قيم ب الممكنة هي : 2 , -1+جذر(46) , -1-جذر(46)
إذا كان ب= 2 فإنّ : أ+ج = 5 و أج = 4 وهذا يعني أن : أ و ج هما حلان للمعادلة س^2- 5 س+4=0 وبحساب حلول هذه المعادلة نجد :
أ= 1 , ج= 4 أو أ=4 ,ج= 1
الحالتان : ب=-1+جذر(46) , ب=-1-جذر(46) تعالجان بنفس الطريقة