السلام عليكم
نفرض ان المنحنى له جذر واحد اذن معادلته د(س)= اس+ب
حيث ا و ب ثوابت
المستقيم لابد ان يكون مائلا يمينا او يسارا
ولايمكن ان يوازى محور الصادات لانه لن يكون دالة في س
نفرض دائرة مركزها نقطة الاصل وطول نصف قطرها س0
المعادلة لهذة الدائرة
س^2+ص^2=س0^2
نحل المعادلتين معا بعد تربيع معادلة الدرجة الاولى
ص^2=ا2س^ 2+2 اس ب+ب^2
بنتج معادلة من الدرجة الثانية
لها حلان
احدهما معرف وهو س0 لان كل من الدائرة والمستقيم يمر بنفس النقطة
اذن المميز للمعادلة موجب لان الجذر الاول حقيقي موجب
اذن بوجد حل اخر وبالتالي يتقاطعا في نقطتين
وبما ان النقطة على الدائرة
اذن لها نفس المسافة عن المركز
ثانبا نفرض ان الدالة من الدرجة الثانية
د(س)=اس2+ب س+ج
نربع المعادلة
ثم نحلها مع معادلة الدائرة
ينتج معادلة من الدرجة الرابعة
يمكن ان تكون لها اربع حلول تخبلبة او حقيقيه
ولكن احد الجذور س0 حقيقي اذن يوجد على الاقل جذر اخر حقيقي يحقق المعادلة
اذن يوجد على الاقل نقطتين على نفس البعد
ثم نفس الوضع مع منحنى الدرجة الثلثة ينتج معادلة من 6 جذور احدها حقيقي اذن يوجد على الاقل جذر اخر حقيقي
لانها ستكون معادلات كل منها من الدرجة الثانية
وهكذ كل المعادلات الناتجة ستكون من درجة زوجية الرتبه
وبالتالى يوجد على الاقل نقطتى تقاع مع الدائره
اذن يوجد نقطتين على الاقل لكل منحنيات كثيرة الحدود