س = بكر ، ص = ثيب ، ع = عجوز

س + ص + ع = 20 -----------(1)

4 س + 1/2 ص + 1/ 4 ع = 20 ----------(2)

من (1) : ع = 20 - س - ص

بضرب (2) بـ 4 :

16 س + 2 ص + ع = 80

بالتعويض بقيمة ع = 20 - س - ص :

16 س + 2 ص + 20 - س - ص = 80

15 س + ص = 60

و هذا من نوع المعادلات الديوفانتاينية ( Diophantine Equations) التي على

الشكل : أ س + ب ص = جـ و يمكن ان يكون لها عدد كبيرا من الحلول في

الاعداد الصحيحة

كيفية حل مثل هذه المعادلات :

15 س + ص = 60

أ = 15 ، ب = 1 ، جـ = 60

أولا نوجد القاسم المشترك الأكبر للمعاملات أ = 15 ، ب = 1 : د =( 15 ، 1 )

الحالة : د = 1

ثانيا : نعبّر عن القاسم المشترك الاكبر بالنسبة للعددين

1 = 15(0) + 1 (1)

من هنا يمكننا إيجاد حل خاص( ليس كل الحلول) للمعادلة باستخدام القاعدة :

س₀ =( 0 × 60 ) / د = 0

ص₀ = ( 1 × 60 ) / د = 60

جميع الحلول تكون على الصورة : ( ن عدد صحيح)

س = س₀ + ( ب / د) ن = 0 + ن = ن

ص = ص₀ - ( أ / د )ن = 60 - 15 ن

نعود الآن للمسألة الأصلية :

نريد الحل لـ س و ص بشرط :

0 < س < 20 و 0 < ص < 20

0 < ن < 20 ، من الواضح أن هذه لا تفيد

و كذلك الأمر بالنسبة لـ ص :

0 < 60 - 15 ن < 20

- 60 < - 15 ن < - 40

2.66 < ن < 4 ، إذا ن = 3 ( ن عدد صحيح )

ص = 60 - 15 ن = 60 - (15) (3) = 15

15س = 60 - ص = 45 ، س = 3

الآن ع = 20 - س - ص = 2


آلة حاسبة للمعادلات الديوفانتاينية

كل ما عليك هو إدخال قيم أ ، ب و جـ لتحصل على الحل ، الرابط :

http://www.math.uwaterloo.ca/~snburr...cs/linear.html

انظر مسألة مشابهة و طريقة أخرى على الرابط :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=3760