منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

10-08-2007, 12:31 AM

نضع $a=\frac{x}{y}$ و $b=\frac{y}{z}$ و $c=\frac{z}{x}$ حيث $x$ و $y$ و $z$ أعداد حقيقية موجبة قطعا .

إذن المتفاوتة المراد إثباتها تكافئ $(\frac{x}{y}-1+\frac{z}{y})(\frac{y}{z}-1+\frac{x}{z})(\frac{z}{x}-1+\frac{y}{x}) \le 1$

أي : $(x - y + z)(y - z + x)(z - x + y) \le xyz$

نضع الآن : $x - y + z = \alpha$ و $y - z + x = \beta$ و $z - x + y = \gamma$

إذن : $\alpha+ \beta= 2x$ و $\beta+ \gamma= 2y$ و $\gamma+ \alpha= 2z$ .

وبالتالي المتفاوتة المراد إثباتها تكافئ $\left( {\alpha+ \beta } \right)\left( {\beta+ \gamma } \right)\left( {\gamma+ \alpha } \right) \ge 8\alpha \beta \gamma$

وهذه متفاوتة بسيطة جدا يمكن إثباتها باستخدام متفاوتة الوسط الحسابي و الهندسي ذلك أنه $\alpha+ \beta\ge 2\sqrt {\alpha \beta } \,\,,\,\beta+ \gamma\ge 2\sqrt {\beta \gamma } \,,\,\gamma+ \alpha\ge 2\sqrt {\gamma \alpha }$
فيكفي إذن ضرب المتفاوتات الثلاث طرفا بطرف للوصول إلى النتيجة
لكن هذا طبعا يفترض أن تكون الأعداد الثلاثة $\alpha$ و $\beta$ و $\gamma$ موجبة .
أما الحالة التي يكون فيها أحد العددين فقط سالبا فهنا المتفاوتة محققة لأ ن الطرف الأيمن $\alpha \beta\gamma$ سيكون سالبا والأيسر $\left( {\alpha+ \beta } \right)\left( {\beta+ \gamma } \right)\left( {\gamma+ \alpha } \right) = 8xyz$ موجبا .
لاحظ أنه لايمكن أن يكون عددان فقط منهما سالبا ولا الثلاثة سالبا !

ملحوظة : الحل منقول للفائدة