منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

17-06-2008, 08:34 PM

$\int {\frac{{\ln x}}{{x^2 }}} dx = \int {x^{ - 2} } \ln xdx$

${\rm{u = lnx , du = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}$

$dv = x^{ - 2} {\rm{ v ,= }}\frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{x}}}$
$\int {x^{ - 2} } \ln xdx = \frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{x}}}{\rm{lnx + }}\int {\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}} \frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}dx = \frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{x}}}{\rm{lnx + }}\int {{\rm{x}}^{{\rm{ - 2}}} dx}$
$= \frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{x}}}{\rm{lnx + }}\frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{x}}}$
$\int\limits_1^e {x^{ - 2} } \ln xdx = \left. {\frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{x}}}{\rm{lnx + }}\frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{x}}}} \right|_1^e= (\frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{e}}}{\rm{lne + }}\frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{e}}}) - (\frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{1}}}{\rm{ln1 + }}\frac{{{\rm{ - 1}}}}{{\rm{1}}})$
$\frac{{ - 2}}{e} + 1$