منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة - المعادلات الديفونتية Diophantine Equations

17-06-2009, 11:16 PM

السلام عليكم و رحمة الله وبركاته

..

سأتحدث في هذا الموضوع عن المعادلات الديفونتية الخطية و عن نظم التكافئات الخطية ، و للعلم فأنا طالب و لذا كثيرا ما أخطأ فأرجو أن تصححوا لي

وقد قررت كتابة هذا الموضوع ليستفيد منه كل من يحب الرياضيات وهو بناء على تجربتي الشخصية ..

سأبدأ بتوضيح نقطة هامة جدا :

المعادلات الديفونتية الخطية هي معادلات من الدرجة الأولى نبحث لها عن حلول تنتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة

فمثلا

هي معادلة ديوفنتية خطية في متغيرين.
و ليتمكن الجميع من فهم الرموز المستعملة سأعرف أكثرها شيوعا وسأبين معنى البقية عند الحاجة ..

الرموز الأساسية هي :
1. رمز قابلية القسمة

ويعني a تقسم b
2. رمز العامل المشترك الأكبر

و يعني العامل المشترك الأكبر للعددين a و b

الصورة العامة للمعادلة الديفونتية الخطية في متغيرين هي :

حيث كل الأعداد السابقة صحيحة..

و لتكون هذه المعادلات قابلة للحل لا بد أن يتحقق الشرط التالي :

فلنقل الآن أن لدينا معادلة ديفونتية خطية و لها حلول ،، يبقى السؤال الأهم: كيف نوجد هذه الحلول و كم هو عددها؟؟

و لنجيب عن هذا السؤال يجب أن نتعرف إلى مفهوم قد يكون جديدا على البعض ، وهو الحساب المقاسي modular arithmetic

يعتمد الحساب المقاسي على فكرة أن أي عدد يمكن كتابته بدلالة أي عدد آخر و ذلك على الصورة

حيث m و n أي عددين صحيحين، و q هو ناتج القسمة و r هو الباقي

و بذلك يمكننا أن " نكافئ" أي عددين صحيحن في " mod "عدد ما ، إذا تركا الباقي نفسه عند قسمة كل منهما عليه ،
فلنقل أن العدد a يترك الباقي نفسه الذي يتركه العدد b عند قسمتهما على العدد n حينها يمكننا أن نقول بصيغة رياضية :

و لعلاقة التكافؤ هذه خواص جميلة سأشرحها في مشاركتي التالية ، و بعدما نتعرف على تلك الخواص سنكمل رحلتنا للبحث عن حلول المعادلات الديوفونتية..

أسأل الله التوفيق و عسى أن يستفيد أحد مما أكتب..

ملاحظة: لا تترددوا في السؤال عن أي شيء وسأحاول المساعدة على قدر استطاعتي

.