منتديات الرياضيات العربية - عرض مشاركة واحدة

18-08-2007, 10:15 AM

شكرا أخي حمودي ،

حسنا كيف نحدد إذا ما كان

$\bf \int{\sqrt{lnx}dx}$

أوليا أم لا ؟

كان (Joseph Liouville (1809 - 1882 ، عالم الرياضيات الفرنسي أول من

تطرّق لموضوع إثبات أن التكاملات غير أولية و ذلك عبر وضع نظرية (عام 1835)

عرفت باسمه ( النظرية التالية هي حالة خاصة مما يعرف بـنظرية لوافيل القوية ):

إذا كانت و دوال نسبية ( Rational Functions ) حيث غير ثابتة ( Not constant ) ، يكون :

، أوليا (Elementary ) ، إذا و فقط إذا (If and only if ) وجدت

دالة نسبية تحقق الشرط التالي :

نتيجة 1 :التكامل

$\bf \int{x^{2n} e^{ax^2}dx}$

هنا $f(x)= x^{2n} , g(x) = ax^2 , a\neq 0$

يمكن إثبات أنه لا يمكن إيجاد دالة نسبية تحقق شرط النظرية :

$x^{2n} = R'(x)+ g'(x)R(x)= R'(x)+2axR(x)$

و عليه كل التكاملات على الصورة $\bf \int{x^{2n} e^{ax^2}dx}$ غير أولية

(عندما تكون n = 0 و a = -1 نحصل على دالة الخطأ - error function التي سنتحدث عنها لاحقا )

هذه النتيجة مفيدة جدا و يمكن استخدامها لبرهان ان تكاملا ما ليس أوليا

بواسطة تحويله إلى الصورة $\int{t^{2n}e^{at^2}dt}$

الآن بإمكاننا إجابة السؤال المطروح في بداية المشاركة :

$\int{\sqrt{lnx}dx}$

نضع t² = lnx

$2t dt = \frac{dx}{x}$

و

يصبح التكامل :

$\int{\sqrt{lnx}dx}= \int{2t^2 e^{t^2}dt}$

و هو على الصورة الواردة في النتيجة 1 أعلاه ، أي انه غير اولي

نتيجة 2 :التكامل

$\int{x^{-n} e^{ax}dx}$

حيث n عدد صحيح موجب و a غير منعدمة

تكامل غير أولي لأنه يمكن إثبات أنه لا توجد دالة نسبية تحقق شرط النظرية :

$x^{-n} = R'(x)+ g'(x)R(x)= R'(x)+aR(x)$

مثال :

$\int{\frac{1}{lnx}}dx$

غير أولي لانه يمكن كتابته على الصورة الواردة في النتيجة 2 و ذلك باستخدام

التعويض : t = lnx ، ليصبح التكامل :

$\int{\frac{e^t}{t}}dt = \int{t^{-1} e^t}dt$

أسئلة: استخدم التعويض لتحويل التكاملات التالية إلى الصيغ الواردة في النتيجتين 1 و 2 أعلاه لإثبات أن هذه التكاملات غير أولية :

$\int{\frac{1}{\sqrt{lnx}}}dx$

$\int{e^{e^{x}}dx}$

$\int{\frac{e^x}{\sqrt{x}}dx}$

$\int{ln(lnx)dx}$
(استخدم التكامل بالتجزىء - By parts أولا )

و للحديث بقية .......