السلام عليكم
توصلت لحل باستخدام جذور الوحدة لكنه طويل جدا لكن هناك حل اخر اعرضه عليكم


نفرض ا ن (ظا (3 ط\11) + 4 جا (2 ط \11))^2=ص



ملحوظة 2 التى بعد جتا تعنى تربيع


بضرب الطرفان في 2جتا2(3ط\11)

سافرض للتسهيل ط\11=س
العلاقة تصبح(طا3س +4جا2س)2=ص
بفك التربيع
(طا3س)^2 +8طا3س جا2س +16(جا2س)^2

بضرب كل حد في 2جتا2(3س)


مع ملاحظة ان طا=جا\جتا
2جتا2(3س)*(جا3س\جتا3س)^2=


بالاختصار= 2 (جا3س)^2=2-2 (جتا3س)^2
=2-(جتا6س +1)=1-جتا 6س -------------- 1


ثم نضرب8طا3س جا2س ايضا في 2جتا2(3س)
8جا3س\جتا3س *جا2س*2جتا2(3س)=بالاختصار
8(2جتا3س*جا3س)*جا2س
8جا6س*جا2س ثم نستخدم قاعدة 2جا س جا ص المعروفة
4( - جتا 8س + جتا 4 س)=


- 4جتا 8س +4جتا4س--------------------------2


ثم نضرب الحد الثالث في 2جتا2(3س)

2جتا2(3س)*16جا2(2س)


=8(2جتا3س*جا2س)^2
=8(جا5س-جاس)^2



=8(جا2(5س) -2جا 5س*جاس + جا2(س))

ثم بالاختصار
8 - 8جتا2(5س) +8 جتا 6س - 8 جتا4س +8 -8جتا2(س)


ثم باستخدام قانون 2جتا2(س)=جتا2س +1

نحصل على


8-4جتا10س +8جتا 6س -8جتا 4س -جتا2س ----------3


بجمع العلاقات 1و2و3

واضافة وطرح 4جتا6س
ينتج
9 -4(جتا2س +جتا4س+جتا6س+جتا8س) +11جتا 6س



ولكن المقدار داخل القوس =-1\2

ويمكن اثباتها بسهولة



=11+11جتا 6س=11(1 +جتا6س)
=11(2جتا2(3س))
وهى المقدارالذي تم الظرب فيه
وبحذفه من الطرفان ينتج ان

(طا3س +4 جا2س)^2=11

والسلام عليكم