ج1 - مسائل متنوعة في الجبر - الصفحة 2

27-02-2009, 03:23 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة waelalghamdi [ مشاهدة المشاركة ]

يمكننا بسهولة إثبات العلاقة :

$\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{i+1} \cdot \begin{pmatrix}n \\ i \end{pmatrix} = \frac{2^{n+1} -1}{n+1}$

بوضع $n=11$ نجد الناتج النهائي $\frac{2^{12}-1}{12}$

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mourad24000 [ مشاهدة المشاركة ]

يمكن كتابة المجموع السابق على الشكل:
$\sum_{k=0}^{11}\frac{\begin{pmatrix}11\\ k\end{pmatrix}}{k+1}$
و الباقي سهل أتركه لمن يريد المحاولة
سلام

ليتكما تضعان الحل كاملا و مفصلا

،،، وستعرفان لماذا

إن شاء الله

يبدو أنكما تعانيان من مشكلة كتابة binomial

27-02-2009, 03:55 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mathson [ مشاهدة المشاركة ]

ليتكما تضعان الحل كاملا و مفصلا

،،، وستعرفان لماذا

إن شاء الله

يبدو أنكما تعانيان من مشكلة كتابة binomial

صدقت والله

هذي محاولتي :

$k \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} = n \begin{pmatrix}n-1 \\ k-1\end{pmatrix}$

$\Longrightarrow \frac{1}{k+1} \cdot \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} = \frac{1}{n+1} \cdot \begin{pmatrix}n+1 \\ k+1\end{pmatrix}$

$\Longrightarrow \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} \cdot \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} =\frac{1}{n+1} \cdot \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n+1 \\ k+1\end{pmatrix} = \frac{1}{n+1} \cdot (2^{n+1}-1)$

وبوضع $n=11$ ينتج المطلوب

27-02-2009, 03:59 PM

مدري ليش الصور مش ظاهرة !

27-02-2009, 06:46 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة waelalghamdi [ مشاهدة المشاركة ]

صدقت والله

هذي محاولتي :

$k \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} = n \begin{pmatrix}n-1 \\ k-1\end{pmatrix}$

$\longrightarrow \frac{1}{k+1} \cdot \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} = \frac{1}{n+1} \cdot \begin{pmatrix}n+1 \\ k+1\end{pmatrix}$

$\longrightarrow \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+1} \cdot \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} =\frac{1}{n+1} \cdot \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix}n+1 \\ k+1\end{pmatrix} = \frac{1}{n+1} \cdot (2^{n+1}-1)$

وبوضع $n=11$ ينتج المطلوب

بارك الله فيك، حل جميل.
عندي سؤال :

العلاقة في السطر الثاني معروفة، لكن كيف استنتجتها من السطر الأول ؟؟؟

27-02-2009, 06:56 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mathson [ مشاهدة المشاركة ]

بارك الله فيك، حل جميل.
عندي سؤال :

العلاقة في السطر الثاني معروفة، لكن كيف استنتجتها من السطر الأول ؟؟؟

تسلم ... إليك طريقة الاستنتاج ، وعذرًا لأني لم أكن واضحًا

:

$k \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} = n \begin{pmatrix}n-1 \\ k-1\end{pmatrix}$

$\Longrightarrow \frac{1}{n} \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} = \frac{1}{k} \begin{pmatrix}n-1 \\ k-1\end{pmatrix}$

$\Longrightarrow \frac{1}{n+1} \begin{pmatrix}n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} = \frac{1}{k+1} \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}$

$\Longrightarrow \frac{1}{k+1} \cdot \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} = \frac{1}{n+1} \cdot \begin{pmatrix}n+1 \\ k+1\end{pmatrix}$

27-02-2009, 07:20 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة waelalghamdi [ مشاهدة المشاركة ]

تسلم ... إليك طريقة الاستنتاج ، وعذرًا لأني لم أكن واضحًا

:

$k \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} = n \begin{pmatrix}n-1 \\ k-1\end{pmatrix}$

$\Longrightarrow \frac{1}{n} \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} = \frac{1}{k} \begin{pmatrix}n-1 \\ k-1\end{pmatrix}$

$\Longrightarrow \frac{1}{n+1} \begin{pmatrix}n+1 \\ k+1 \end{pmatrix} = \frac{1}{k+1} \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}$

$\Longrightarrow \frac{1}{k+1} \cdot \begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} = \frac{1}{n+1} \cdot \begin{pmatrix}n+1 \\ k+1\end{pmatrix}$

ما شاء الله ،،، راقد على المنتدى

،،،

فخر لنا وجودك بيننا ...

المسألة (4) (هنالك تعديل : في الطرف الأيمن العلامة - بدل العلامة +)

27-02-2009, 07:26 PM

الله يسلمك ، وأنا راقد على كل المنتديات

يلا أنا عندي كلاس الحين ، وراجع لهذي المسألة الجديدة والجميلة...

أتوقع يمدينها نقتلها بالاستقراء الرياضي ؟!

28-02-2009, 12:43 AM

أعتقد أن السؤال يحتاج إلى تعديل

28-02-2009, 01:02 AM

بالضبط أستاذ مجدي ...

هذه إضافة فقط بالاستقراء الرياضي :

the base case, when $n=1$

$F_0 + F_1 = F_3 - 1$

$\Leftrightarrow 1 + 1 = 3 - 1$

which is true

suppose that for some natural $n \ge 2$

$F_0 + F_1 + ... + F_n = F_{n+2} - 1$

now let's prove the case $n+1$

$L.H.S \; \; = F_0 + F_1 + ... + F_n + F_{n+1} = F_{n+2} + F_{n+1} - 1 = F_{n+3} - 1 = \; \; R.H.S$

so the statement holds for all naturals
$n$

28-02-2009, 11:04 AM


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة