نظرية الأعداد - الدرس الإسبوعي (1)

23-02-2007, 12:40 PM

بسم الله الرحمن الرحيم

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته ،

طلب إلينا بعض الإخوة و الاخوات وضع دروس في نظرية الأعداد (Number Theory ) و ذلك لقلة الاهتمام بهذا الفرع من الرياضيات بالرغم من أهميته.

و قد أبدى البعض رغبته في أن نلقي الضوء على مفهوم القياس ( mod) و التوسع في شرح خصائصه و العمليات المصاحبة له.

سنقوم بعد التوكل على الله بوضع سلسلة دروس تتناول هذا الموضوع كاملا و وضع بعض التمارين عقب كل درس ليتم حلها بالتعاون مع الأعضاء الكرام.

مـقـدمـــــــــــــــــــ ــة

يعنى فرع نظرية الأعداد بدراسة خصائص الأعداد الطبيعية ( Natural Numbers )

و التي يطلق عليها مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ).

تمت دراسة هذه الخصائص منذ أوقات بعيدة تعود إلى قبل الميلاد ، على سبيل المثال :

المعادلة : س ² + ص ² = ع ² ( x² + y² = z² )

لها عدد لا نهائي من الحلول في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ) ، بينما المعادلات :

س ³ + ص ³ = ع ³ ( x³ + y³ = z³ )

س ⁴ + ص ⁴ = ع ⁴ ( x⁴ + y⁴ = z⁴ )

ليس لهما حلول على الإطلاق في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers ).

هناك عدد لا نهائي من الاعداد الأولية ، العدد الاولي هو عدد طبيعي مثل 23 لا يمكن كتابته بشكل ضرب عددين طبيعيين أصغر (عوامل - Factors ) على عكس
33 و هو غير أولي : 33 = 3 × 11 .

حقيقة أن متسلسلة الأعداد الأولية ( Sequence of primes ) :

2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، ..........

هي متسلسلة غير محدودة منسوبة إلى إقليدس ( Euclid ) الذي عاش حوالي

350 قبل الميلاد ، هناك الكثير من المسائل الغير محلولة في نظرية الإعداد.

لعل أشهر مثال هو نظرية فيرما الأخيرة ( Fermat's Last Theorem ) ، و هي التي استعصت على البرهان حتى عام 1994 .

صرّح بيير دي فيرما ( Pierre de Fermat : 1601 - 1665 ) بوجود برهان لديه

للتالي :

المعادلة : س ^ن + ص ^ن = ع ^ن

xⁿ+ yⁿ = zⁿ

ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ( Positive Integers )

لكل ن > 2 ( For every n > 2 ) .

أضاف فيرما أن هامش الكتاب كان صغيرا جدا ليكتب البرهان عليه.

هناك بعض المفاهيم في نظرية الأعداد من الضروري

أن نعرضها قبل البدء بالدروس :

النتائج العامة في نظرية الأعداد عادة ما تعتمد على الملاحظات المعتمدة على

التجربة ( Empirical Observations) ، قد تلاحظ أن كل عدد طبيعي ( Natural Number ) حتى 1000 مثلا يمكن كتابته على شكل مجموع مربعات 4 أعداد طبيعية ( Sum of four squares ) :

1000 ² = 30 ²+ 10 ² + 0 ² + 0 ²

999 ² = 30 ²+ 9 ² + 3 ² + 3 ²

قد يكون من المشجع أن تخمّن ( Conjecture ) أن كل عدد طبيعي يمكن التعبير عنه كمجموع لمربعات أربعة أعداد طبيعية ( Sum of Four squares )
و هذا صحيح و هي نظرية يطلق عليها نظرية المربعات الأربعة (Sum of Four Squares Theorem) قد وضع البرهان الأول لها لاجرانج ( Lagrange : 1736 - 1813 ) سنقوم بوضع برهانها في سياق هذه السلسلة من الدروس.

بالطبع ، المخّمَنة ( Conjecture ) المعتمدة على التجربة و بعض الأمثلة قد يثبت خطؤها ، يكفي أن تأتي بمثال مضاد ( Counter Example ) واحد يخالف نتيجتها لكي تثبت بطلانها.

مثال : قام ليونارد أويلر ( Leonhard Euler : 1707 - 1783 ) بتخمين أنه لا يمكن
كتابة أس ( Exponent ) لعدد طبيعي كمجموع لأعداد طبيعية أقل من نفس الأس ، على سبيل المثال :

مكعب ( Cube ) عدد طبيعي لا يمكن كتابته كمجموع لمكعبات أعداد طبيعية
أقل منه ، و هذا صحيح و سيرد البرهان في سياق هذه السلسلة.

أول مثال مضاد ( Counter Example ) لهذه المخّمَنة (Conjecture ) تم تقديمه

في عام 1968 :

144 ⁵ = 27 ⁵ + 84 ⁵ + 110 ⁵ + 133 ⁵

على أية حال ، التجربة و الملاحظة ( Empirical Observations ) لها أهمية في

إكتشاف النتائج العامة و اختبار صحة المخّمَنات ( Conjectures ) و هي مهمة

أيضا لفهم النظريات و لذلك ينصح الدارس ببناء أمثلة عددية خاصة به عندما

تكون النظرية غير مفهومة تماما.

إلى الدرس الأول : قابلية القسمة


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة