متفاوتة الوسط اللوغاريتمي

09-09-2006, 11:23 PM

السلام عليكم ورحمة الله .

اثبت هذه المتفاوتة اللوغاريتمية ....

لكل عددين موجبين مختلفين a و b .

تحياتي .

28-12-2007, 11:50 AM

Without loss of the generalization let
b>a
Firstly, let
$f1(x)=ln a +\frac{(x-a)}{\sqrt{ax}}-\ln x$

we have
$\frac{df1}{dx}=\frac{x+a-2\sqrt{ax}}{2x\sqrt{ax}}$

= $\frac{( \sqrt{x}-\sqrt{a}\) ^{2}}{2x\sqrt{ax}}$
larger than 0
Therefore $f1$ is increasing function and
$f1(a)=0$
Then $f1$ >0
for all $x$ > $a$
Then , for all b>a
$sqrt{ab}\leq \frac{(b-a)}{(ln b-ln a)}$ -----------(1)
Secondly, let
$\ f2(x)=ln x-ln a-\frac{2(x-a)}{(x+a)}$
then
$\frac{df2}{dx}=\frac{(x-a)^{2}}{x(x+a)}$
greater than 0
Therefore $f2$ is increasing function and
$f2(a)=0$
Then $f2$ >0
for all $x$ > $a$
Then , for all b>a
$\frac{(b-a)}{(ln b-ln a)}\leq \frac{b+a}{2}$ ------------(2)
From (1) and (2)
$sqrt{ab}\leq \frac{(b-a)}{(ln b-ln a)}\leq \frac{b+a}{2}$

Note that, If b less tha a , we can alternate each of a and b, because

$\frac{(b-a)}{(ln b-ln a)}=\frac{(a-b)}{(ln a-ln b)}$

28-12-2007, 11:58 AM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

أخى الكريم / طالب معرفة
زادك الله من فضله معرفة وعلما
وبارك جهدك .... ،

29-12-2007, 03:44 PM

الأخت الفاضلة Amel2005

شكرا جزيلا لك وأشكر لك مجهودك الكبير وبارك الله فيك أختنا الفاضلة


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة