مسابقة أجمل حل : السؤال الثاني

07-03-2008, 12:39 PM

السلام عليكم ،

أوجد معادلة الدائرة التي تمر بالنقاط - على الشكل (س ، ص ) :

( 5 ، 1 ) ، (2 ، 2 ) ، ( - 2 ، 0 )

================================

Find the equation of the circle which passes through the points
(5,1), (2,2), (0 , 2-).

================================

الشروط :

- المسابقة مفتوحة للجميع

-كل الحلول توضع في نفس هذا الموضوع

-مدة استقبال الحلول هي اسبوعين لكل مسألة

-المسائل التي ستطرح عددها 20

-يتم تحديد أجمل حل من قبل لجنة الحكم

-النقاط :

أجمل حل المرتبة الاولى : 5 نقاط
أجمل حل المرتبة الثانية : 4 نقاط
أجمل حل المرتبة الثالثة : 3 نقاط
أجمل حل المرتبة الرابعة : نقطتان
كل من شارك بحل غير مكرر : نقطة واحدة

بالتوفيق للجميع

07-03-2008, 01:43 PM

$A\left( { - 2,0} \right)$
$B\left( {2,2} \right)$
$C\left( {5,1} \right)$

نفرض أن المستقيم L1 يمر بالنقطتين A , B فيكون ميله :
$m = \frac{1}{2}$
ونقطة منتصف AB:
$\left( {0,1} \right)$
فيكون المستقيم K1 العمودي المنصف ميله 2- و يمر بالنقطة
$\left( {0,1} \right)$
فتكون معادلته:
$y =- 2x + 1$
-----------------------------------------------------------------------------------
نفرض أن المستقيم L2 يمر بالنقطتين C , B فيكون ميله :
$m =- \frac{1}{3}$
نقطة منتصف BC:
$\left( {3.5,1.5} \right)$
المستقيم K2 العمودي المنصف ل BC ميله 3- و يمر بالنقطة :
$\left( {3.5,1.5} \right)$
فتكون معادلته
$y = 3x - 9$
-----------------------------------------------------------------------------------
مركز الدائرة المطلوبة هي نقطة تقاطع المستقيمين K1 , K2
لإيجادها نساوي المعادلتين :
$- 2x + 1 = 3x - 9 \Rightarrow x = 2$
إذا نقطة التقاطع (وهي مركز الدائرة):
$\left( {2, - 3} \right)$
وذلك بالتعويض عن x في أي من المعادلتين.
نوجد نصف القطر بحساب البعد بين المركز و أي نقطة عليها (من المعطيات)
$r = 5$
إذا المعادلة المطلوبة:
$\left( {x - 2} \right)^2+ \left( {y + 3} \right)^2= 25$
---------------------------------------------------------------------------------
الملخص
المركز هي نقطة تقاطع المستقيمين الواصلين بين نقطتين على المحيط حيث أن المستقيمين مختلفين

07-03-2008, 02:37 PM

07-03-2008, 03:04 PM

الأحباء المشرفين على منتديات الرياضيات العربية المحترمين ... تحية طيبة ...

أبارك للإخوة المشاركين حصولهم على النقاط وأتمنى للجميع استمرار النجاح .

إليكم حل المسألة الثانية ، المعادلة العامة للدائرة :

س^2 + ص^2 + ب س + ج ص + د = 0

نعوض النقاط الثلاث التي تمر بالدائرة وتحقق المعادلة :

25 + 1 + 5 ب + ج + د = 0 ....... ( 1 )
4 + 4 + 2 ب + 2 ج + د = 0 ....... ( 2 )
4 + 0 - 2 ب + د = 0 ....... ( 3 )

5 ب + ج + د = - 26 ....... ( 1 )
2 ب + 2 ج + د = - 8 ....... ( 2 )
- 2 ب + د = - 4 ....... ( 3 )

بجمع المعادلتين ( 2 ) ، ( 3 ) :

2 ج + 2 د = - 12 ==> ج + د = - 6 نعوض في ( 1 )

5 ب - 6 = - 26 ==> 5 ب = - 20 ==> ( ب = - 4 ) نعوض في ( 3 )

+8 + د = - 4 ==> ( د = - 12 )

ج - 12 = - 6 ==> ( ج = + 6 )

معادلة الدائرة :
س^2 + ص^2 - 4 س + 6 ص - 12 = 0 ( بالإتمام إلى مربع كامل )
س^2 - 4 س + 4 - 4 + ص^2 + 6 ص + 9 - 9 - 12 = 0

( س - 2 )^2 + ( ص + 3 )^2 = 25

وهي معادلة الدائرة المارة بالنقاط الثلاث ( 5 ، 1 ) ، ( 2 ، 2 ) ، ( - 2 ، 0 )

مركزها ( 2 ، - 3 ) ونصف قطرها ( نق = 5 )

مع أحلى أمنيات السعادة .

أخوكم بسام ( W.Yacoubian )

07-03-2008, 04:42 PM

بسم الله الرحمن الرحيم
بارك الله فيكم على هذا الموقع الجميل وان شاء الله المره القادمه تكون لي مشاركه معكم شكر خاص الى رئيس الموقع

07-03-2008, 08:19 PM

http://www.eclasshome.com/attach/upl...h_44985351.doc

الاجابة بالمرفقات

07-03-2008, 09:04 PM

الصراحة بعدني أفكر في حل أسهل

07-03-2008, 11:43 PM

نفرض ان د , ك منتصفى اب , ب ج اذا د=(0 , 1) ك=(7\2 ,3\2 )
ميل اب=-1\2 اذا ميل م د=2 حيث م مركز الدائرة
اذا معادلة المستقيم م د هى ص-1=2(س-0) ص+2س=1 _______ 1
بالمثل ميل ب ج=-1\3 اذا ميل م ك=3
اذا معادلة المستقيم م ك هى ص-3س=-9 ________________ 2
المستقيمان م ك , م د يتقاطعان فى نقطة م والتى نحصل عليها بحل المعادلتين اذا س=2 , ص=-3
مركز الدائرة (2 , -3)
نق تربيع=(2- -2)تربيع+(-3-0)تربيع=25
الصورة العامة لمعادلة الدائرة (س-س1)تربيع+(ص-ص1)تربيع=نق تربيع
(س-2)تربيع+(ص+3)تربيع=25

08-03-2008, 01:31 PM

09-03-2008, 12:51 AM

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
جزاكم الله خيرا على هذه المسابقه التي تبعث روح الحماس والتحدي بين الأعضاء وكنت اتمنى اني اشارك فيها ولكن الحلين اللذان كنت افكر فيهم سبقني أليهم W.Yacoubian و3alloushi ولكنني سأحاول التفكير بطريقه أخرى
مع تمنياتي للجميع بالتوفيق


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة