{}{}Minimum{}{}

25-05-2008, 11:35 PM

${x}$ و ${y}$ عددين حقيقين موجبين قطعا بحيث

${x+y=1}$

حدد القيمة الدنوية للتعبير

${A=\frac{x}{sqrt{1-x}}+\frac{y}{sqrt{1-y}}}$

26-05-2008, 05:59 PM

السلام عليكم و رحمة الله.
الطريقة الأولى و المعروفة.
التعبير A يصير:

و الآن يكفي دراسة الدالة: f(x)=A على المجال ]1;0[ ، و نجد المطلوب.

أما الطريقة الثانية:
فتبدأ باعتبار: a=x ; b=1-x
و منه A تصير :

و أتركها لمن أراد المحاولة.

27-05-2008, 02:26 AM

هل لك ان تعطينا خطوات دراسة الدالة f شكرا لك

بالنسبة للطريقة التانية ساكتب ما تبقى من الحل

27-05-2008, 08:52 PM

أعتقد أنه يقصد المشتقة الأولى

28-05-2008, 03:43 PM

السلام عليكم و رحمة الله.
الجواب هو جدر مربع 2. و الطريقة معروفة ليس علينا سوى إنجاز جدول تغيرات الدالة، و سنجدها تناقصية ثم تزايدية، و تقبل قيمة دنوية عند x=1/2 .
بانتظار أن تكمل لنا الحل أخي ياسين بارك الله فيك، سأحول هدا السؤال إلى متفاوتة فيها تعميما، و هي كالآتي:
لتكن: أعدادا حقيقية موجبة مجموعها يساوي 1 ، لدينا:

إدن من يتقدم؟

28-05-2008, 04:09 PM

من بركة العلم دكر صاحبه.
فهده المتفاوتة من الأولمبياد الهندي، أظن أنها أول متفاوتة هندية في هدا المنتدى.

28-05-2008, 08:11 PM

اكمال حل الطريقة التانية
نعتبر الدالة المحدبة f بحيت $f(x)=\frac{1}{sqrt x}$
لدينا حسب متفاوتة jensen
$af(b)+bf(a)\geq (a+b)f(\frac{2ab}{a+b})$

ادن $af(b)+bf(a)\geq f(2ab)$ لان $a+b=1$

$\Rightarrow \huge{\frac{a}{sqrt b}+\frac{b}{sqrt a}\geq \frac{sqrt2}{2sqrt{ab}}$

و نعلم ان $a+b\geq 2sqrt{ab}$

ادن $\frac{1}{2sqrt{ab}}\geq 1$

ادن $\frac{sqrt2}{2sqrt{ab}}\geq sqrt2$

ادن ${\frac{a}{sqrt b}+\frac{b}{sqrt a}\geq sqrt2$

28-05-2008, 08:38 PM

هدا حل مسالتك اخي محمد

نعتبر الدالة المحدبة $f(x)=\frac{1}{sqrt x}$ لدينا حسب متفاوتة $Jensen$

$x_1f(1-x_1)+...+x_nf(1-x_n)\geq (x_1+...+x_n)f(\frac{x_1+...+x_n-(x_1^2+...+x_n^2)}{x_1+...+x_n})$

$x_1f(1-x_1)+...+x_nf(1-x_n)\geq f(1-(x_1^2+...+x_n^2))$

$\frac{x_1}{sqrt{1-x_1}}+...+\frac{x_n}{sqrt{1-x_n}}\geq \frac{1}{sqrt{1-\sum_{k=1}^n x_k^2}$

و لدينا حسب متفاوتة Cauchy schartz
${x_1^2+x_2^2+....+x_n^2\geq \frac{(x_1+x_2+..+x_n)^2}{n}}$

${x_1^2+x_2^2+....+x_n^2\geq \frac{1}{n}}$

${-(x_1^2+x_2^2+....+x_n^2)\le - \frac{1}{n}}$

${1-(x_1^2+x_2^2+....+x_n^2)\le1 - \frac{1}{n}}$

${1-\sum_{k=1}^n \: x_k^2\le \frac{n-1}{n}}$

${\frac{1}{1-\sum_{k=1}^n \: x_k^2} \geq \frac{n}{n-1}}$

${\frac{1}{sqrt{1-\sum_{k=1}^n \: x_k^2}} \geq sqrt{\frac{n}{n-1}}}$

ادن

${\frac{x_1}{sqrt{1-x_1}}+...+\frac{x_n}{sqrt{1-x_n}}\geq \frac{1}{sqrt{1-\sum_{k=1}^n x_k^2}} \:\geq sqrt{\frac{n}{n-1}}$

28-05-2008, 09:16 PM

يا سلام عليك سبقتني كنت سأضع الحل الآن

29-05-2008, 07:04 PM

روعة أخي ياسين.


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة