حل المعادلة التفاضلية الآتية..

11-06-2008, 01:18 PM

حل المعادلة مبيناً خطوات الحل

$y^2 dx + (3xy - 1)dy = 0$

11-06-2008, 03:05 PM

dy/dx=-y^2/(3xy-1)
let y=p+1/3
then dp/dx= -(p +1/3)^2/3xp
pdp/(p+1/3)^2=-1/3 dx/x

by integrating
1/2 ln(3p+1)^2-9y^3 =-1/3 ln x+c
1/2 ln(9y^2) -9y^3=-1/3 ln x +c

11-06-2008, 05:54 PM

السلام عليكم

محاولة للحل ...

$y^2 dx + (3xy - 1)dy = 0$

$M = y^2 \quad\Rightarrow \quad \frac{{\partial M}}{{\partial y}} = 2y$

$N = 3xy - 1\quad\Rightarrow \quad \frac{{\partial N}}{{\partial x}} = 3y$

بما أن المعادلة غير تامة ... نضرب في معامل التكامل....ولايجاده :

$\frac{{\frac{{\partial N}}{{\partial x}} - \frac{{\partial M}}{{\partial y}}}}{M} = \frac{1}{y}\quad\Rightarrow \quad \frac{{dg}}{{dy}} = \frac{g}{y}\quad\Rightarrow \quad \frac{{dg}}{g} = \frac{{dy}}{y}\quad\Rightarrow \quad g = y$

بضرب المعادلة في y

$y^3 dx + (3xy^2- y)dy = 0$

$\int {y^3 dx = } y^3 x$

$\int {(3xy^2- y)dy = } y^3 x - \frac{1}{2}y^2$

إذن الحل العام هو :

$y^3 x - \frac{1}{2}y^2= c\quad\Rightarrow \quad 2y^3 x - y^2= c$

11-06-2008, 07:21 PM

شكرا لكم على حلولكم الجميلة وبارك الله فيكم .لا شك أنكم بارعون.
وهذه محاولة أخرى للحل من اجل الفائدة

$y^2 dx + (3xy - 1)dy = 0$
نعيد كتابة المعادلة على الصورة
$\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{y^2 }}{{1 - 3xy}}$
لاحظ أن المعادلة لو قلبت ستصبح من النوع
linear diff equation
$\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{{1 - 3xy}}{{y^2 }} = \frac{1}{{y^2 }} - \frac{{3x}}{y}$
$\frac{{dx}}{{dy}} + \frac{3}{y}x = \frac{1}{{y^2 }}$
$\mu= e^{\int {\frac{3}{y}} dy}= e^{3\ln y}= e^{\ln y^3 }= y^3 x$
$\mu x = \int {\mu q \to } y^3 x = \int {y^3 } \frac{1}{{y^2 }}dy \to y^3 x = \int {ydy}$
$\to y^3 x = \frac{{y^2 }}{2} \to 2y^3 x = y^2+ c \to= 2y^3 x - y^2= c$


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة

أدوات الموضوع
مشاهدة صفحة طباعة الموضوع أرسل هذا الموضوع إلى صديق
انواع عرض الموضوع
العرض العادي الانتقال إلى العرض المتطور الانتقال إلى العرض الشجري