مبرهنة فيثاغورث مبرهنة فيثاغورس هي مبرهنة في الهندسة الإقليدية، تقول أنه في المثلث القائم الزاوية مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة يساوي مربع طول الوتر. سميت هذه المبرهنة على العالم فيثاغورس الذي كان رياضيا، و فيلسوفا، و عالم فلك في اليونان القديمة. الصيغة الهندسية لمبرهنة فيثاغورس .. .

 

 

	مبرهنة فيثاغورس المباشرة وهي الشكل الأكثر شهرة لمبرهنة فيثاغورس: « في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين المحاذيين للزاوية القائمة. » في مثلث ABC قائم الزاوية في C، أي أن [AB] هو الوتر، نضع AB=c و AC=b و BC=a. لدينا: BC2 + AC2 = AB2 أو a2 + b2 = c2 تمكن مبرهنة فيثاغورس من حساب طول أحد أضلاع مثلث قائم الزاوية بمعرفة طولي الضلعين الآخرين. مثلا: إذا كان b=3 و c=4 فإن a2 + b2 = 32 + 42 = 25 = c2 ومنه c=5. مثلوث ثلاثة أعداد صحيحة تمثل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية، مثل (5 ,4 ,3)، يسمى مثلوث فيثاغورس. .. .

 

 

	مبرهنة فيثاغورس العكسية نص مبرهنة فيثاغورس العكسية (العبارة 47 من الجزء الأول من كتاب العناصر لإقليدس): « في مثلث، إذا كان مربع طول أطول ضلع يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن هذا المثلث قائم الزاوية. الزاوية القائمة هي الزاوية المقابلة لأطول ضلع، و الضلع الأطول هو الوتر. » مبرهنة فيثاغورس هي خاصية مميزة للمثلث القائم الزاوية. بتعبير آخر: « في مثلث abc، إذا كان ac²+bc²=ab² فإن هذا المثلث قائم الزاوية في c. » ... .

 

 

	تاريخ المبرهنة عرفت خاصية فيثاغورس في العصور القديمة، و الدلائل على ذلك مازالت موجودة إلى الآن. يكفي مثلا أن نلاحظ الحبل ذو ثلاث عشرة عقدة الذي إستعمله الأربنتور المصري و الذي نجد له صورا في عدة تقديمات لأعمال الحقل. يسمح هذا الحبل، علاوة على قياس المسافات، بإنشاء زوايا قائمة دون الحاجة إلى الكوس، بينما تسمح العقد الثلاث عشرة (و الإثني عشرة مسافة فاصلة بينهم) من إنشاء مثلث أبعاده (5 ,4 ,3)، مثلث يتضح أنه قائم الزاوية. ظل هذا الحبل أداة هندسية طيلة العصور الوسطى. أقدم تمثيل لمثلوثات فيثاغورس (مثلث قائم الزاوية وأطوال أضلاعه أعداد صحيحة طبيعية) نجده في الميغاليثات (2500 سنة قبل الميلاد). كما أظهرت آثار البابليين (لوحة Plimpton، حوالي سنة 1800 قبل الميلاد) أنه قبل ظهور فيثاغورس بأكثر من 1000 سنة، عرف المهندسون وجود مثلوثات فيتاغورس. لكن بين إكتشاف الخاصية «نلاحظ أن بعض المثلثات القائمة الزاوية تحقق هذه الخاصية»، تعميمها «يبدو أن كل المثلثات القائمة الزاوية تحقق هذه الخاصية» و إثباتها «كل المثلثات القائمة الزاوية (فقط) في المستوى الإقليدي تحقق هذه الخاصية» عدة أجيال. .. .

 

 

	ندرة الدلائل التاريخية تجعلنا غير قادرين على نسب المبرهنة إلى فيثاغورس بشكل قاطع، مع أننا على يقين بأنه صاحبها. أول برهان مكتوب نجده في كتاب العناصر لإقليدس بالصيغة التالية: « في المثلثات القائمة الزاوية، مربع طول الضلع المقابل للزاوية القائمة يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. » مع صيغتها العكسية: « إذا كان مربع طول ضلع في مثلث يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين، فإن الزاوية المحصورة بين هذين الضلعين قائمة. » و مع ذلك، فتعليقات Proclus على كتاب العناصر لإقليدس (حوالي 400 سنة بعد الميلاد) تشير إلى أن إقليدس لم يقم سوى بإعادة تدوين برهان قديم نسبه Proclus إلى فيثاغورس. إذن، يمكننا أن نؤرخ البرهان على هذه الخاصية ما بين القرن الثالث و القرن السادس قبل الميلاد. يحكى أنه في تلك الفترة إكتشفت الأعداد اللاجذرية. بالفعل، يمكن بسهولة إنشاء مثلث قائم الزاوية و متساوي الساقين طول أحدهما 1، فيكون مربع طول الوتر هو 2. برهان بسيط أيام فيثاغورس يثبت أن العدد 2 ليس مربعا لعدد جذري. يقال أن هذا الإكتشاف تم إبقاؤه سرا من طرف المدرسة الفيثاغورسية تحت تهديد بالقتل. إلى جانب هذه الإكتشافات، يبدو أن هذه المبرهنة عرفت في الصين أيضا. نجد إشارة إلى وجود هذه المبرهنة في واحد من أقدم المؤلفات الصينية في الرياضيات، كتاب Zhoubi suanjing. هذا المؤلف، كتب على الأغلب في Han Dynasty (أعظم الفترات في تاريخ الصين)، (206 قبل الميلاد، 220 سنة بعد الميلاد) يضم التقنيات المستعملة في فترة Zhou Dynasty. (القرن العاشر قبل الميلاد، 256 قبل الميلاد). نجد برهان هذه الخاصية، التي تحمل في الصين إسم مبرهنة جوجو Gougu (القاعدة والإرتفاع)، في كتاب Jiuzhang suanshu (الفصول التسعة في فن الرياضيات، 100 سنة قبل الميلاد، 50 سنة بعده)، برهان مختلف كليا عن برهان إقليدس. .. .

 

 

	كما نجد في الهند برهانا عدديا للخاصية يعود إلى القرن الثالث قبل الميلاد (برهان بإستعمال أعداد خاصة، لكن يمكن تعميمه بسهولة). رغم أنها خاصية هندسية، إلا أنها أخذت منحى حسابيا عند البحث عن جميع مثلوثات أعداد صحيحة طبيعية تمثل أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية: أي مثلوثات فيثاغورس. هذا البحث فتح الباب لبحث آخر: البحث عن المثلوثات التي تحقق an + bn = cn، بحث قاد إلى مظنونة فيرما التي تم حلها سنة 1994 على يد الرياضي Andrew Wiles. توجد في الحقيقة العديد من البراهين على هذه الخاصية، مثل برهان إقليدس، و برهان الصينيين، مرورا ببرهان الهنود، و برهان دافينشي و حتى برهان الرئيس الأمريكي James Abram Garfield. كما لا يفوتنا ذكر الكاشي الذي عمم هذه المبرهنة على كل المثلثات: مبرهنة الكاشي. .. .

 

 

	براهين بلا شك، هذه المبرهنة لديها أكبر عدد معروف من الإثباتات (كما هو الحال بالنسبة لخاصية Quadratic reciprocity). ها هي بعض منها: برهان إقليدس صورة:PPythagore2.pngقبل البرهنة على خاصية فيثاغورس، يجب إثبات عبارتين. العبارة الأولى التي يجب إثباتها (العبارة 35 من الجزء الأول من كتاب العناصر) هي تساوي مساحتي متوازيي أضلاع لهما نفس القاعدة و نفس الإرتفاع: « متوازيات الأضلاع التي لها قاعدة مشتركة، و محصورة بين نفس المستقيمين المتوازيين، لها نفس المساحة. » لنعتبر متوازيي الأضلاع ABCD و BCFE، لديهما قاعدة مشتركة [BC]، و محصوران بين المتوازيين (BC) و (AF)، لاحظ أن AD=BC (لأنهما قاعدتا متوازي الأضلاع ABCD)، و BC=EF (لأنهما قاعدتا متوازي الأضلاع BCFE)، و بالتالي AD=EF. .. .

 

 

	توجد ثلاثة حالات فقط (مبينة في الشكل جانبه) لموضع النقطة E بالنسبة إلى D : يمكن أن توجد E على يسار D، منطبقة على D أو على يمين D. سندرس كل حالة: 1. إذا كانت E على يسار D فإن [ED] مشتركة بين كل من [AD] و [EF]، و منه نستطيع التحقق من أن المسافتين AD و EF متساويتين. لاحظ أن الضلعين [AB] و [DC] متقايسان (لأنهما قاعدتان متقابلتان في متوازي الأضلاع ABCD)، و النقط D، E، A و F مستقيمية، الزاويتان و متقايستان. كنتيجة لهذا فالمثلثان BAE و CDF متقايسان، لأن لهما ضلعان متقايسان و الزاويتان [img] المحصورتان متقايستان. إذن، متوازيي الأضلاع ABCD و CBEF ليسا سوى ترتيبين مختلفين من شبه المنحرف BEDC و المثلث BAE (أو CDF). 2. إذا كانت E منطبقة على D، سنجد بطريقة مشابهة أن المثلثين BAE و CDF متقايسان، و أنه من الممكن الحصول على متوازيي الأضلاع ABCD و BCFE بإضافة المثلث BAE (أو CDF) إلى المثلث المشترك BCD. 3. إذا كانت E على يمين D، لدينا AD=EF، و بإضافة DE لكل منهما نجد أن AE=DF. و بطريقة مشابهة لتلك التي إستعملناها في 1 و 2، يمكن أن نبين أن المثلثين BAE و CDF، و أيضا شبهي المنحرف BADG و CGEF، متقايسان. إذن من الواضح أنه يمكن الحصول على متوازيي الأضلاع ABCD و CBEF عن طريق إضافة المثلث المشترك BCG إلى شبه المنحرف BADG (أو CGEF). ..

 

 

	إستبدال متوازي أضلاع بمتوازي أضلاع آخر له نفس القاعدة و الإرتفاع يعرف في الرياضيات بإسم القص. هذا الأخير مهم جدا في إثبات العبارة التالية: « إذا كان لمتوازي أضلاع و لمثلث نفس القاعدة، و محصورين بين مستقيمين متوازيين، فإن مساحة متوازي الأضلاع هي ضعف مساحة المثلث. » لنعتبر متوازي أضلاع abcd، و لتكن e نقطة من نصف المستقيم (ad] و لا تنتمي إلى القطعة [ad]. نريد إثبات أن مساحة abcd هي ضعف مساحة bec. بعد رسم القطر [ac]، نلاحظ أن مساحة abcd هي ضعف مساحة abc. و لدينا مساحة abc تساوي مساحة bec (لأن لهم نفس القاعدة). إذن ضعف مساحة bec هي ضعف مساحة abc، أي abcd. . و منه مساحة abcd هي ضعف مساحة bec المثلث. ..

 

 

	نستطيع الآن متابعة البرهان: نعتبر مثلثا ABC قائم الزاوية في A. لتكن ABFG ،ACIH و BCED مربعات الأضلاع AB ،AC و BC على التوالي. لتكن J نقطة تقاطع (BC) و (AK). نريد إثبات أن مساحة BCED تساوي مجموع مساحتي ABFG و ACIH. يمكننا هذا عن طريق إثبات أن مساحة المربع ABFG تساوي مساحة المستطيل BJKD، و أن مساحة المربع ACIH تساوي مساحة المستطيل CEKJ. لإثبات المتساوية الأولى، يمكن أن نلاحظ أن المسافتين FB و BC تساويان AB و BD على التوالي. لأن الزاويتان و متقايستان، و الزاويتان (لاحظ أن ) و (لاحظ أن ) لا حظ أن متقايستان. كنتيجة، لدينا المثلثان FBC و ABD متقايسان. لاحظ أيضا أنه حسب العبارة XLI، مساحة المربع ABFG هي ضعف مساحة المثلث FBC و أن مساحة المستطيل BJKD هي ضعف مساحة المثلث ABD. بما أن المثلثين ABD و FBC متقايسان، فإن مساحة ABFG تساوي مساحة BJKD. نحصل على المتساوية الثانية بطريقة مشابهة: بملاحظة أن IC و CB يساويان AC و CE على التوالي، و أن الزاوية تقايس الزاوية ، نحصل على أن المثلثين ICB و ACE متقايسان. و علما أن مساحة المربع ACIH هي ضعف مساحة المثلث ICB و أن مساحة المستطيل CEKJ هي ضعف مساحة ACE، و بما أن المثلثين ICB و ACE متقايسان، فإن مساحة ACIH تساوي مساحة CEKJ. و بالتالي، مساحة BCED تساوي مساحة مجموع مساحتي BJKD و CEKJ، أي مجموع مساحتي ABFG و ACIH. و تكون مبرهنة فيثاغورس حالة خاصة لمبرهنة كليرو. ..