حلول تمارين فى الجبر

 

 

تمرين ( 1 )

حل المنظومة التالية :

س^2 + ص^2 + 3 س + 3 ص = 8
س ص + 4 س + 4 ص = 2




س ص + 4 س + 4 ص = 2

س ص = 2 - 4*(س + ص) ـــــــــــــــــــــــــ ــــــ (1)

س^2 + ص^2 + 3 س + 3 ص = 8

[(س + ص)^2 - 2 س ص ] + 3*(س + ص) = 8
(س + ص)^2 + 3*(س + ص) = 8 + 2 س ص ـــــــــــــــــ (2)

من (1) ، (2)

(س + ص)^2 + 11*(س + ص) - 12 = 0

نضع (س + ص ) = م

م^2 + 11 م - 12 = 0
(م - 1)(م + 12) = 0

م = 1
س + ص = 1
س ص = 2 - 4*1 = - 2 ـــــــــــــــــــ س = - 2/ص
- 2/ص + ص - 1 = 0
1/ص*(ص^2 - ص - 2) = 0

1/ص = 0 ــــــــــــــــــــــــ غير مقبول حيث ص لا تساوى مالانهاية

أو ص^2 - ص - 2 = 0
ص = 2 ــــــــــــــــــــــ س = - 1
أو ص = - 1 ـــــــــــــــــ س = 2


أو

م = - 12
س + ص = - 12
س ص = 2 - 4*(- 12) = 50 ـــــــــــــــــ س = 50/ص
50/ص + ص + 12 = 0
1/ص* ( ص^2 + 12 ص + 50 ) = 0

ص^2 + 12 ص + 50 = 50
ص = [- 12 + أو - جذر(144 - 4*1*50) / 2
ص = [-12 + أو - جذر - 56]/2

ص = - 6 + جذر 14 ت (تخيلى) ـــــــــــــــــ س = 7 - جذر14 ت
أو ص = - 6 - جذر 14 ت (تخيلى) ــــــــــــــ س = 7 + جذر14 ت

 

 

تمرين ( 2 )

أوجد علي الصورة المثلثية : مجموعة حل المعادلة

س^2 - 2 س + 4 = صفر حيث س عدد مركب


س = [ - ب + أو - جذر(ب^2 - 4 أ ج)] /2 أ = [2 + أو - جذر(4 - 16)]/2

س = 1 + ت جذر3
س = 2 (1/2 + ت جذر3 /2)
= 2( حتا 60 + ت حا60 ) ، الدورة الأولى
= 2[جتا(6 ك + 1)ط/3 + ت جا(6 ك + 1)ط/3] ، بشكل عام
حيث ك = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ...

أو

س = 1 - ت جذر3
س = 2 (1/2 - ت جذر3 /2)
= 2( حتا 300 + ت حا300) ، الدورة الأولى
= 2[ جتا(6 ك + 5)ط/3 + ت جا(6 ك + 5)ط/3] ، بشكل عام
حيث ك = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ...

 

 

تمرين ( 3 )

إذا كان الواحد الصحيح هو جذر مكرر مرتين لكثيرة الحدود

ق ( س ) = س^4 - 2 س^3 + 4 س^2 + ب س + جـ

أوجد قيمة ب ، جـ ثم أوجد قيمة الجذريين الأخريين


بقسمة ق(س) على حاصل ضرب العاملين المعلومين (س - 1)(س - 1) ينتج : حاصل ضرب العاملين الآخرين ، والباقى = 0

بالقسمة المطولة :

حاصل ضرب العاملين الآخرين = س^2 + 3

الباقى = (ب س + 6 س) + (ج - 3) = 0
ومنها :
ب = - 6
ج = 3

نفرض أن الجذرين الآخرين هما : ل ، ع

(س - ل)(س - ع) = س^2 + 3

س^2 - (ل + ع) س + ل ع = س^2 + 3

ل + ع = 0 ــــــــــــــــــــــــ ل = - ع
ل ع = 3

بالتعويض عن قيمة ل بدلالة ع

- ع^2 = 3 ــــــــــــــــــــــ ع = ت جذر3
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــ ل = - ت جذر3

 

 

تمرين ( 4 )

حل النظام التالي بعدد من الطريق المختلفة

س + 2 ص - 2 ع = - 1 ... ... ... ... ... (1)

2 س + ص - ع = 1 ... ... ... ... ... .... (2)

3 س - 2 ص + 4 ع = 11 ... ... ... ... ... (3)


بجمع المعادلتين (1) ، (3) ــــــــــــــ 2 س = 5 - ع

بالتعويض فى (2) ــــــــــــــــــــــــ 2 ع - ص = 4

بالتعويض فى (3)
س = 1
ص = 2
ع = 3


حل آخر :

من (1) ــــــــــــ (ص - ع) = - (1 + س)/2

بالتعويض فى (2)
2 س + (ص - ع) = 1 ــــــــــــــــــــ س = 1

ص - ع = - 1 ـــــــــــــــــــــــــ ــ ع = ص + 1

بالتعويض فى (3)
3*1 - 2*ص + 4*(ص + 1) = 11
3 + 2 ص + 4 = 11 ــــــــــــــــــــــ ص = 2
ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــ ع = 3

 

 

تمرين ( 5 )




إذا كان ع = س + ص ت ، ل = أ + ب ت

أثبت أن

| ع - ل |^2 + | ع + ل |^2 = 2 ( | ع |^2 + | ل |^2 )

ٌٌْْْ

مقياس ع = جذر(س^2 + ص^2)
مقياس ل = جذر(أ^2 + ب^2)

ع - ل = (س + ص ت) + (- أ - ب ت) = (س - أ) + ت *(ص - ب)
ع + ل = (س + ص ت) + (أ + ب ت) = (س + أ) + ت *( ص + ب)

مقياس [ع - ل] = جذر[(س - أ)^2 + (ص - ب)^2]
مقياس [ع + ل] = جذر[(س + أ)^2 + ( ص + ب)^2]

| ع - ل |^2 + | ع + ل |^2 = [(س - أ)^2 + (ص - ب)^2] + [(س + أ)^2 + ( ص + ب)^2]

= 2*(س^2 + ص^2) + 2*(أ^2 + ب^2) = 2*( | ع |^2 + | ل |^2 )

 

 

تمرين ( 6 )


اثبات أن الوسط الحسابى أكبر من الوسط الهندسى لعددين

اشترط علماء الرياضيات عند مقارنة الوسط الحسابى والوسط الهندسى بالمتباينة

الوسط الحسابى > أو = الوسط الهندسى

أن تكون الأعداد موجبة

فمثلا :

الوسط الحسابى للعددين - 2 ، - 8 هو ( -2 -8)/2 = -5
الوسط الهندسى = جذر(-2*-8) = جذر16 = +4 أو -4

وعلى ذلك فالوسط الحسابى ليس أكبر من الوسط الهندسى بأحد قيمتيه سواء الموجبة أو السالبة

وبالتالى لا تصلح المتباينة للأعداد السالبة

وقاموا باستنتاج تلك العلاقة بالمتباينة

بطريقتين باستخدام نظرية فيثاغورث :

 

 

تمرين رقم ( 7 )

اذا كان س^2 ص ع = 12 ، س ص ^2 ع = 6 ، س ص ع^2 = 18

أوجد قيمة
(1 ) س ص ع

( 2) س + ص + ع



ص ع س^2 = 12 ... ... ... (1)

س ع ص^2 = 6 ... ... ... .(2)

س ص ع^2 = 18 ... ... ... (3)

من المعادلتين (1) ، (2) ... ... س/ص = 2

من المعادلتين (2) ، (3) ... ... ع/ص = 3

من المعادلتين (1) ، (3) ... ... ع/س = 3/2

بالتعويض عن قيم ص ، ع بدلالة س فى المعادلة (1)

س^2 * س/2 * 3 س/2 = 3/4 * س^4 = 12

س^4 = 4 * 12 / 3 = 16

س = + أو - 2

بالتعويض عن قيم س ، ع بدلالة ص فى المعادلة (2)

ص = + أو - 1

بالتعويض عن قيم س ، ص بدلالة ع فى المعادلة (3)

ع = + أو - 3

فتكون قيم س ، ص ، ع التى تحقق المعطيات بالمعادلات الثلاث هى :

( 2 ، 1 ، 3 ) أو ( - 2 ، - 1 ، - 3 )

س * ص * ع = 6 أو - 6

س + ص + ع = 6 أو - 6

 

 

تمرين رقم ( 8 )

حل المعادلــــــــــــــة

3 س^4 - 5 س^2 - 2 = صفر



(3س^2 + 1)(س^2 - 2) = 0

إما(3س^2 + 1) = 0 ... ... ... س = + أو - ت/جذر3

أو (س^2 - 2) = 0 ... ... ... س = + أو - جذر2

 

 

تمرين رقم ( 9 )

أوجد قيمة الثابت ( ك )

الذي يجعل باقي قسمة

د ( س ) = ( ك + 1 ) س^3 - 2 س^2 + ك

علي ( س - 2 ) تساوي 9

بالخطوات التفصيلية


نضع مقدار الدالة على الصورة :

( ك + 1 ) س^3 - 2 س^2 + ك - 9 ك + 9 ك =

( ك + 1 ) س^3 - 2 س^2 - 8 ك + 9 ك =

( س - 2 )*[ (ك + 1) س^2 + 2 ك س + 4 ك ] + 9 ك

لكى يكون باقى قسمة الدالة على ( س - 2 ) = 9

يكون قيمة الثابت ك = 1

للتحقق

[( ك + 1 ) س^3 - 2 س^2 + ك]/(س - 2) =

[ 2س^3 - 2س^2 + 1]/(س -2) = 2*(س - 1)(س + 2) + 9/(س - 2)