حلول تمارين
فى
المتتابعات الحسابية والهندسية

 

 

تمرين ( 1 )

متتابعه حسابيه فيها
ح(س+1) = م ، ح(ص+1)= ك ، ح(ع+1)= ى
اثبت ان
م( ص-ع) +ك(ع- س)+ى(س- ص) =0


نفرض أن الحد الأول للمتتابعة الحسابية = أ ، الأساس = د
إذن :
م = أ + س د
ك = أ + ص د
ى = أ + ع د

م( ص-ع) + ك(ع- س)+ ى(س- ص) =
= (أ + س د)(ص - ع) + (أ + ص د)(ع - س) + (أ + ع د)(س - ص)
= أ[ ص - ع + ع - س + س - ص] + د[ س ص - س ع + ص ع - س ص + س ع - ص ع] = أ × 0 + د × 0 = 0
حيث أ ، د لا تساويان الصفر

 

 

تمرين ( 2 )

متتابعة غير تقليدية
( 2/ 9 ، 9 ، 2/ 3 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0000000)
اذا كان مجموع عدد فردى من تللك الحدود = 283 /3
فما عدد حدودها ؟

المتسلسلة هى متتابعتين هندسيتين :

الأولى : 2 /9 ، 2 /3 ، 2 ، 6 ، 18 ، 45 ، ....
حدها الأول = 2 / 9
الأساس = 3

الثانية : 9 ، 3 ، 1 ، 1 /3 / 1/9 ، ...
حدها الأول = 9
الأساس = 1 /3

نفرض أن عدد الحدود الفردية = 2 ن + 1
فيكون :
عدد الحدود من المتتابعة الأولى = ن + 1
عدد الحدود من المتتابعة الثانية = ن

283 /3 = [ 2 /9 ( 3^{ن + 1} - 1 ) ] / [ 3 - 1 ] + [ 9 ( 1 - (1 /3)^ن) ] / [ 1 - (1 /3) ]

وهى معادلة من الدرجة الثانية فى المتغير 3^ن
وبحلها بالقانون العام ــــ> 3^ن = 243 ، ومنها : ن = 5

فيكون عدد حدود المتسلسلة = 2 ن + 1 = 11 حدا

للتحقق :

عدد حدود المتتابعة الهندسية الأولى = ن + 1 = 6
مجموعها = [ 2 /9 ( 3^6 - 1 ) ] / [ 3 - 1 ] = 728 / 9

عدد حدود المتتابعة الهندسية الثانية = ن = 5
مجموعها = [ 9 ( 1 - ( 1/3)^5 ) ] / [ 1 - ( 1 /3 ) ] = 121 /9

اجمالى المجموع = 728 /9 + 121 /9 = 849 /9 = 283 /3

 

 

تمرين ( 3 )

متتابعة غير تقليدية
( 3 ، 18 ، س ، 1 ، 12 ، 1/ 2 س ، 1/ 3 ، 8 ، 1/ 4 س ، 0000000 )
اذا كان مجموعها الى اللانهاية = 23.5
فما قيمة س ؟


المتسلسلة تتكون من حدود ثلاثة متتابعات هندسية لانهائية

الأولى : 3 ، 1 ، 1 /3 ، ....
حدها الأول = 3
الأساس = 1 /3
مجموعها= 3 / (1 - (1 /3)) = 4.5

الثانية : 18 ، 12 ، 8 ، ...
حدها الأول = 18
الأساس = 2 /3
مجموعها = 18 / [ 1 - (2 /3) ] = 54

الثالثة : س ، س /2 ، س /4 ، ...
حدها الأول = س
الأساس = 1 /2
مجموعها = س / [ 1 - (1 /2) ] = 2 س

23.5 = 4.5 + 54 + 2 س

ومنها : س = - 17.5

 

 

تمرين ( 4 )

ح(ن) متتابعة حسابية
ح(6) = 16 ، ح(20) = - 26
أوجد المتتابعة
ثم أوجد مجموع 20 حدا الأولى منها


نفرض أن :
الحد الأول للمتتابعة الحسابية = أ
الأساس = د

ح(6) = أ + 5 د ................... (1)
ح(20) = أ + 19 د ................... (2)
بحل المعادلتين جبريا ، ينتج أن :
د = - 3 ، أ = 31
وتكون المتتابعة : 31 ، 28 ، 25 ، ...

مجموع 20 حدا الأولى = 20 /10 [ 2 × 31 + 19 × - 3 ] = 50

 

 

تمرين ( 5 )

أربعة أعداد تكون متتابعة حسابية مجموعها 32
الحد الرابع يزيد عن الحد الثانى بمقدار 4
أوجد هذه الأعداد ؟

نفرض أن الأعداد هى : أ ، (أ + د) ، (أ + 2 د) ، (أ + 3 د)

(أ + 3 د) - (أ + د) = 4 ...... ، ومنها : د = 2
4 أ + 6 د = 32 ................ ، ومنها : أ = 5
وتكون الأعداد هى : 5 ، 7 ، 9 ، 11

 

 

تمرين ( 6 )

إذا كان مجموع 11 حدا من متتابعة حسابية يساوى مربع حدها السادس
وكانت حدودها الرابع ، والسابع ، والحادى عشر تكون متتابعة هندسية
أوجد المتتابعة الحسابية ؟

نفرض أن الحد الأول للمتتابعة الحسابية = أ ، الأساس = د
ج(11) = 11 /2 [ 2 أ + 10 د ] = ( أ + 5 د )^2
11 ( أ + 5 د ) = ( أ + 5 د )^2
( أ + 5 د )( أ + 5 د - 11 ) = 0
فيكون :
أ + 5 د = 11
أو :
أ + 5 د = 0

( أ + 6 د )^2 = ( أ + 3 د )( أ + 10 د )
أ^2 + 12 أ د + 36 د^2 = أ^2 + 13 أ د + 30 د^2
6 د^2 - أ د = 0
د ( 6 - أ ) = 0
أ = 6 ، حيث د لاتساوى الصفر فى المتتابعات

وتكون : د = 1
للتحقق من الشروط :
الشرط الأول
ج(11) = 11 /2 [ 2 × 6 + 10 × 1 ] = 121
[ ح(6) ]^2 = [ 6 + 5 × 1 ]^2 = 121
الشرط الثانى
ح(4) = 6 + 3 ×1 = 9
ح(7) = 6 + 6 ×1 = 12
ح(11) = 6 + 10 × 1 = 16
ح(7) / ح(4) = 12 /9 = 4 /3
ح(11) / ح(7) = 16 /12 = 4 /3
يتحقق الشرطان عند أ = 6 ، د = 1
وتكون المتتابعة الحسابية : 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، ...

أو د = - 6 /5
للتحقق من الشروط :
الشرط الأول
ج(11) = 11 /2 [ 2 × 6 + 10 × - 6 /5 ] = 0
[ ح(6) ]^2 = [ 6 + 5 × - 6 /5 ]^2 = 0
الشرط الثانى
ح(4) = 6 + 3 × - 6 /5 = 12 /5
ح(7) = 6 + 6 × - 6 /5 = - 6 /5
ح(11) = 6 + 10 × - 6 /5 = - 6
ح(7) / ح(4) = - 1 /2
ح(11) / ح(7) = 5
لا تحقق الشرط الثانى

 

 

تمرين ( 7 )

متتابعة هندسية متزايدة وجميع حدودها موجبة
فإذا كان الوسط الحسابى بين حديها الثانى والرابع = 68
والوسط الهندسى الموجب لهما = 32
أوجد المتتابعة

ح(2) + ح(4) = 2 × 68 = 136 ـــــ> ح(2) = 136 - ح(4)
ح(2) × ح(4) = 32^2 = 1024
بالتعويض عن قيمة ح(2) بدلالة ح(4)
[ 136 - ح(4) ] × ح(4) = 32^2 = 1024
وبحل المعادلة جبريا وهى معادلة من الدرجة الثانية فى ح(4) ، باستخدام القانون العام ، ينتج أن :
ح(4) = 128 ...... ، ومنها : ح(2) = 8

نفرض أن الحد الأول للمتتابعة الهندسية = أ ، الأساس = ر
أ × ر = 8
أ × ر^3 = 128
بالقسمة : ــــــ> ر = 4 ، ومنها : أ = 2

المتتابعة هى :

2 ، 8 ، 32 ، 128 ، ...

 

 

تمرين ( 8 )

متتابعة حسابية حدها الثالث يزيد عن ضعف حدها السادس بمقدار 1
ومربع حدها الثامن يزيد عن حدها الرابع بمقدار 2
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد عدد الحدود الذى يعطى أكبر مجموع للمتتابعة
وأوجد هذا المجموع

نفرض أن الحد الأول = أ ، الأساس = د
أ + 2 د = 2 ( أ + 5 د ) + 1
ومنها : أ = - ( 1 + 8 د )

( أ + 7 د )^2 = ( أ + 3 د ) + 2
بالتعويض عن قيمة أ بدلالة د
د ( 7 + د ) = 0 ـــــــــــ> د = - 7 ، ومنها : أ = 55

المتتابعة الحسابية :
55 ، 48 ، 41 ، 34 ، 27 ، 20 ، 13 ، 6 ، - 1 ، ...

أكبر مجموع للمتتابعة هو مجموع الحدود الموجبة اعتبارا من الحد الأول
نفرض أن ح(ن) = 0
أ + (ن - 1) × د = 55 + (ن - 1) × - 7 ــــ> ن = 8 + 6 /8
إذن :
ح(9) = أ + 8 د = 55 - 8 × 7 = - 1
ح(8) = أ + 7 د = 55 - 7 × 7 = 6
ويكون : عدد الحدود الموجبة اعتبارا من الحد الأول = 8
ج(8) = 8 /2 [ 2 أ + 7 د ] = 4 [ 2 × 55 - 7 × 7 ] = 244

 

 

تمرين ( 9 )

ح(ن) متتابعة هندسية حدودها موجبة
ح2 + ح3 = 72 ، ح2 × ح4 = 324
أوجد المتتابعة
ثم أوجد مجموع حدودها الى مالانهاية

نفرض أن الحد الأول للمتتابعة الهندسية = أ ، الأساس = ر
أ ر + أ ر^2 = 72 ــــ> أ = 72 / (ر + ر^2)
أ ر × أ ر^3 = أ^2 ر^4 = 324
بالتعويض عن قيمة أ بدلالة ر
[ 72 / (ر + ر^2) ]^2 × ر^4 = 324
15 ر^4 - 2 ر^3 - ر^2 = 0
ر^2 ( 15 ر^2 - 2 ر - 1 ) = 0
ومنها : ر = 1 /3 ــــ> أ = 162
وتكون المتتابعة : 162 ، 54 ، 18 ، 6 ، 2 ، ...

مجموع الحدود الغير منتهية = أ / (1 - ر) = 162 × 3 /2 = 243