مجموع متسلسلة...

19-08-2009, 03:37 AM

بين أن:

$1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-...=\sqrt{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+... \right)$

20-08-2009, 02:55 PM

أخي الحبيب مراد راجع سؤالك أظن أنك مخطئ!!!

20-08-2009, 06:37 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة uniquesailor [ مشاهدة المشاركة ]

أخي الحبيب مراد راجع سؤالك أظن أنك مخطئ!!!

السؤال ليس به خطأ فهو مكتوب بشكل سليم
يمكن ايجاد المجموعين باستعمال السلاسل الصحيحة و من ثم المقارنة بينهما

25-08-2009, 06:29 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة mourad24000 [ مشاهدة المشاركة ]

بين أن:

$1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-...=\sqrt{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+... \right)$

الحل
بفرض

${S}_{1}=\sum_{k=0}^{\infty}{(-1)}^{k}\left(\frac{1}{4k+3}+\frac{1}{4k+3} \right)=\int_{0}^{1}\left((1+{x}^{2})\sum_{k=0}^{\infty}{(-{x}^{4})}^{k} \right)dx$

${S}_{1}=\int_{0}^{1}\frac{1+{x}^{2}}{1+{x}^{4}}dx=\sqrt{2}\frac{\pi }{4}..............(1)$

و من جهة أخرى

${S}_{2}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{{(-1)}^{k}}{2k+1}$

${S}_{2}=\int_{0}^{1}\left(\sum_{k=0}^{\infty}{(-{x}^{2})}^{k} \right)dx=\int_{0}^{1}\frac{dx}{1+{x}^{2}}=\frac{\pi }{4}...........(2)$

من (1) و (2) نجد المطلوب.


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة