السؤال السابع بواسطة لجنة الحكم

أوجد قيمة ب إذا كان للمعادلة :

س⁴ - (3ب + 2 ) س² + ب² = صفر

أربعة جذور تشّكل متتالية حسابية .

Find the value(s) of b so that the equation has four roots in an arithmetic progression

بالتوفيق للجميع

 

 

السلام عليكم
بفرض ان الجذور ا و ا +د و ا +2د و ا+ 3د
بالتعويض
في المعادلة الاصلية
ا⁴ - (3 ب +2) ا² + ب² =0
(ا+د)⁴ - (3 ب +2)(ا +د)² + ب² =0
وهكذا نكون 4 معادلات من حل الا ولتين ينتج


2ا² +2ا د + د² =3ب +2
والاخرتين
2ا² +10 ا د +13د² =3ب +2
ثم بحلهما معا والقسمة على د التى لا تساوى الصفر


ينتج



2ا= -3د
د =-2 ا\3
المعادلة يمكنان تكتب

(س-ا)(س-ا -د)(س-ا -2د)(س -ا -3د ) =0
بالتعويض عن د = -2 ا\3
(س -ا)(س -1\3 ا )(س + 1\3 ا )(س+ا)=0

اذن مجموع الجذور =0
بالضرب وتبسيط المعادلة

(س² - ا2) ( س² -1\ 9 ا) =0
س⁴- 10\9 ا² س² -1\9 ا⁴ =0


بالمقارنة مع المعادله الاصلية
ب² =1\9 ا4
ب =+-1\3 ا2
10\9 ا² =3ب+2
بالتعويض
ا²= +-3ب
+-10 \3 ب =3ب +2

بالضرب في 3
ب =6
والقيمة الاخري بعد تاكيد الحل الجذور للمعادلة
جذر 18 وجذر 18 - 3 جذر2 و000

 

 

مسألة ممتازة أخي المشرف العام ولقد استمتعت بالبحث ومحاولة حلها ...
أخي أشرف تشكر على المجهود لكن يمكن حل التمرين بملاحظة أن في الحدودية فقط الأس إثنان وأربعة وهذا يعني أنه إذا كان س حلا فإن مقابله - س حل ايضا ...
حاول مرة أخرى ...
بالتوفيق للجميع .

بالتوفيق للجميع ...

 

 

نفلاض ان حدود المتتابعه هى ( أ - د) ، أ ، ( أ + د ) ، ( أ + 2 د )
فتكون المعادله كالاتى :
(س -( أ- د)) ( س- أ) ( س -(أ+د)) (س -( أ + 2 د )) = 0
(س- أ +د)(س -أ) (س - أ - د ) ( س -أ - 2د ) = 0
بعد الفك والاختصار يكون الشكل النهائى هكذا :
س^4 + (-4 أ - 2 د ) س^3 + ( 6 أ د - د^2 + 4 أ^2) س^2 + (2 د^3 - 4 أ^2 د + 2 أ د^2 ) س + ( - 2 أ د^3 - 3 أ^2 د^2 ) = 0
وبمان ان لا يوجد حد به س^3 فيكون معامل س^3 = 0
ويكون - 4 أ - 2 د = 0 ومنها د = - 2 أ
بمساواه المعاملات الاخرى :
3 ب +2 = د^- 6 أ د - 4 أ^2
بالتعويض عن د = - 2أ ينتج
3 ب + 2 = 12 أ^2ـــــــــــــــــــــــ ــ 1
بمان ان ب^2 = - 2 أ د^3 - 3 أ^2 د^2
بالتعويض ايضا عن د ينتج :
ب ^2 = 4 أ^2
ومنها 9 ب^2 = 36 أ^2 ـــــــــــــــــــــــ2
من 1 :
3 ب = 12 أ^2 - 2 بالتربيع
9 ب^2 = 144 أ^4 - 48 أ^2 + 4 ـــــــــــــــــــ 3
من 2 ، 3
تكون المعادله:
27 أ^4 - 12 أ^2 + 1 = 0
( 3 أ^2 - 1 ) ( 9 أ^2 - 1 ) = 0
3 أ^2 = 1 ،
أ^2 = 1/3
بالتعويض فى 3 ب + 2 = 12 أ^2
3 ب = 2
ومنها ب = 2/3
9 أ^2 = 1
ومنها أ ^2 = 1/9
بالتعويض عنها فى ( 1)
ينتج ب = -2 / 9
اذن قيمه ب = 2 / 3 ، - 2 / 9
على ماعتقد الحل سليم

 

 

الاخوه الاعزاء: المعادله س^4-(3ب+2)س^2+ب^2=0
لها اربع حلول كل حلان منهم سيكون معكوس جمعى للاخر(نظير جمعى)
لنفرضهم (-ج ،-ا،ا،ج) لاحظ ان الحلول ستكون متتابعه حسابيه
اى ج =ا+د و ا = -ا +د ومنها د = 2ا بالتعويض
نجد ج = 3ا الحلول (-3ا ،-ا ،ا،3ا)
اذا المعادله (س +3ا)(س+ا)(س-ا)(س-3ا)=0
(س^2-9ا^2)(س^2-ا^2)=0
س^4 -10 ا^2س^2 +9ا^4=0
والمعادله الاصليه هى س^4 -(3ب+2)س^2 +ب^2=0
بمقارنه المعاملات نجد ب^2 = 9أ^4 ومنها ب= +او- 3 ا^2
و3ب+2= 10ا^2 بالتعويض عن ب= 3ا^2 ـــــــــــــــــ(1)
9 ا^2 +2=10ا^2 ومنها ا^2 =2 ومنها ا= +او-جذر2
الحلول (-3 جذر2 ، -جذر2 ، جذر2 و3جذر) وتكون ب =6 (حيث ب=3 ا^2)
وتكون المعادله س^4 - 20س^2 +36 =0
نعود للاحتمال الاخر وهوب= -3ا^2 ونعوضعنها
فى العلاقه 3ب+2= 10ا^2 سنجدان -9ا^2 +2= 10ا^2
ومنها ا^2 = 2/19 اى ا = + او - جذر 2/19
فتكون الحلول( -3 جذر 2/19 ، -جذر2/19 ، جذر 2/19 ، 3جذر2/19)
وب= - 6/ 19 و تكون المعادله س^4 -(20/19)س^2+(36/361)=0 ارجو الاطلاع على الحل وافادتى [اخوكم الزواوى]

 

 

الاخ العزيز جدا عمر
اذا كانت الجذور جذر 18 وجذر 18 -2جذر2 وجذر 18 -4جذر2 وجذر 18 -6جذر 2
فهى فعلا في توالى حسابى حده الاول جذر 18
واساسه -2جذر2
والاخير = -جذر 18
ثم اذا كونا المعادلة ستكون س4 -20س2 +36=0
وبالتالى ب =6
و 3ب +2 =18+2=20
والراي لك بالتاكيد

 

 

اتوقع حل الزواوي صحيح ؟؟؟

 

 

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة محمدالزواوى [ مشاهدة المشاركة ]

الاخوه الاعزاء: المعادله س^4-(3ب+2)س^2+ب^2=0 لها اربع حلول كل حلان منهم سيكون معكوس جمعى للاخر(نظير جمعى) لنفرضهم (-ج ،-ا،ا،ج) لاحظ ان الحلول ستكون متتابعه حسابيه اى ج =ا+د و ا = -ا +د ومنها د = 2ا بالتعويض نجد ج = 3ا الحلول (-3ا ،-ا ،ا،3ا) اذا المعادله (س +3ا)(س+ا)(س-ا)(س-3ا)=0 (س^2-9ا^2)(س^2-ا^2)=0 س^4 -10 ا^2س^2 +9ا^4=0 والمعادله الاصليه هى س^4 -(3ب+2)س^2 +ب^2=0 بمقارنه المعاملات نجد ب^2 = 9أ^4 ومنها ب= +او- 3 ا^2 و3ب+2= 10ا^2 بالتعويض عن ب= 3ا^2 ـــــــــــــــــ(1) 9 ا^2 +2=10ا^2 ومنها ا^2 =2 ومنها ا= +او-جذر2 الحلول (-3 جذر2 ، -جذر2 ، جذر2 و3جذر) وتكون ب =6 (حيث ب=3 ا^2) وتكون المعادله س^4 - 20س^2 +36 =0 نعود للاحتمال الاخر وهوب= -3ا^2 ونعوضعنها فى العلاقه 3ب+2= 10ا^2 سنجدان -9ا^2 +2= 10ا^2 ومنها ا^2 = 2/19 اى ا = + او - جذر 2/19 فتكون الحلول( -3 جذر 2/19 ، -جذر2/19 ، جذر 2/19 ، 3جذر2/19) وب= - 6/ 19 و تكون المعادله س^4 -(20/19)س^2+(36/361)=0 ارجو الاطلاع على الحل وافادتى [اخوكم الزواوى]

Bravo أخي الزواوي ... حل موفق .
وكما لاحظ الجميع مفتاح الحل هو ملاحظة أن إذا كان x حل فإن x - حل أيضا .
إستعد لإقتراح مسألة جديدة .
تحياتي لك .

 

 

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة اشرف محمد [ مشاهدة المشاركة ]

الاخ العزيز جدا عمر اذا كانت الجذور جذر 18 وجذر 18 -2جذر2 وجذر 18 -4جذر2 وجذر 18 -6جذر 2 فهى فعلا في توالى حسابى حده الاول جذر 18 واساسه -2جذر2 والاخير = -جذر 18 ثم اذا كونا المعادلة ستكون س4 -20س2 +36=0 وبالتالى ب =6 و 3ب +2 =18+2=20 والراي لك بالتاكيد

أخي العزيز أشرف عندما اقترحت عليك المحاولة مجددا وملاحظة أنه إذا كان س حلا للمعادلة فإن -س حل أيضا كان القصد من وراء ذلك إرشادك وباقي الإخوة الأعضاء إلى طريقة أسهل تغنيك عن حل نظام من أربع معادلات !!!
ولو أن في اعتقادي يمكن الوصول إلى نفس النتائج بطريقتك تلك ولكن بكثير من الحساب المضني ...
وبما أنك لم تكمل الحل إلى الآخر ولم تعطي القيمة الأخرى b =- 6/19
فحسب قوانيين المسابقة لايعتبر حلك كاملا .
لكن مع ذلك فقد كنت قريبا جدا من الحل ...
وفي انتظار تعليق الأخ المشرف العام صاحب هذه المسألة الجميلة .
تحياتي للجميع .

 

 

اذا كان الحل الخاص بى سليم فان لى طلبان ارجوا ان يحقق احدهما
(1)ان اترك لكم وضع السؤال القادم وهذا ما افضله لان التمارين الخاصه بكم ممتعه وتدعى الى التفكير العميق واستخدام طرق غير تقليديه للوصول الى الحل
(2)او ان يقوم الاخ الفاضل المشرف العام بشرح كيفيه ارسال السؤال اليه بالتفصيل
لاننى حاولت فى مره سابقه ان ارسل السؤال ولم اوفق
ولكم جزيل الشكر اخوانى الاعزاء [اخوكم الزواوى]