كيف يمكن البرهنة على ان عدد Fermat هو عدد اولي
عدد Fermat هو ( 2اس2 الكل اس N ) + واحد
N يتغير في N

 

 

السلام عليكم ورحمة الله

ومرحبا بك أخ رجاوي في منتديات الرياضيات العربية .

نسمي عدد فيرما كل عدد صحيح طبيعي يكتب على الشكل : حيث n عدد صحيح طبيعي .

ولقد سميت أعداد فيرما نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي Pierre de Fermat

وكان يعتقد أن هذه الأعداد أولية لكل عدد صحيح طبيعي n .

وفعلا كلها أعداد أولية ...إلى أن جاء العالم السويسري Leonhard Euler حوالي 1736 حيث أثبت أن العدد ليس أوليا ...

وعليه أخي الكريم ليست جميع أعداد فيرما اولية .

تحياتي .

 

 

أ خي العزيز
بعد موافقتك أرى أن تطرح السؤال على النحو التالي
بين أن أعداد Fermat أولية فيما بينها مثنى مثنى ؟

 

 

لاحظ أن :
F(n+1)-2=2^(2n+1)-1
اذن
F(n+1)-2=(2^(2n)-1)(2^(2n)+1
F(n+1)-2=(2^(2n-1)-1)(2^(2n-1)+1)(2^(2n)+1)
واصل التفكيك فستجد أن:
F(n+1)-2=Fn*....*F0
ليكن d القسم المشترك الأكبر ل Fnو Fm نفترض أن n اذن d يقسم Fn ومنه يقسم :
F(m-1)*F(m-2)*....*Fn*F(n-1)*.....*F0
وحسب الملاحظة الأولى لدينا:
Fm-2=F(m-1)*........*Fn*....*F0
اذن d يقسم Fm-2 ومنه يقسم 2
أي أن d ينتمي الى {1,2}
و بما أن أذداد Fermat كلها فردية اذن
d=1
ومنه مهما يكن n و m من N| فان Fn و Fm أوليان فيما بينهما
ومنه صحة العبارة الرياضية

 

 

لماذا لا يظهلر الرمز اكبر أو اصغر ؟
نفترض في البرهان ان n اصغر من m