أثبت ان مجموع مربعات ن حدا من أي متتابعة حسابية :
ح ن = س+(ن – 1)د
يعطى بالعلاقة:

(ن\6)[6س^2 + د(ن – 1)(6س + د(2ن – 1))]

 

 

عزيزي يوسف
الرمز مجـ ( يدل علي المجموع من ر=1 الي ر= ن )

هناك بعض القوانين المعروفة مثل

مجـ 1= ن

مجـ ر = (ن/2)(ن+1)

مجـ ر^2 = (ن/6)(ن+1)(2ن+1)

مجـ ر^3 = [(ن/2)(ن+1)]^2

الان لحل سؤالك
لاحظ ان الحد العام للمجموع المطلوب هو [س +(ر-1)د]^2

مجـ[س +(ر-1)د]^2 = مجــ [س^2+(ر-1)^2(د^2) +2س د(ر-1)]

مع ملاحظة ان س ، د ثوابت وبعد الفك وتجميع الثوابت يصبح المجموع

مجــ =[( س^2+د^2 -2س د) + (ر^2)(د^2) + (2س د-2د^2) ر ]

= مجـ (س -د)^2 + مجـ (ر^2)(د^2) + (2د(س-د))مجـ ر تم تجزي المجموع

وبالتعويض من القوانين في المقدمة نجد ان

مجـ= (س -د)^2 (ن) + (د^2)[ن/6(ن+1)(2ن+1)] +2د(س- د)(ن)(ن+1)

وبقليل من الاختصار تحصل علي المطلوب مباشرة

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

يمكن حلها باستخدام الأستقراء الرياضي

الطرف الأيمن = مج (ح ر)^2 حيث ر من 1 إلى ن ، ح ر = س + (ر-1) د

الطرف الأيسر = (ن\6)[6س^2 + د(ن – 1)(6س + د(2ن – 1))]

عند ن = 1

الطرف الأيمن = س^2

الطرف الأيسر = س^2


نفرض العبارة صحيحة عند ن= ك ، أي

الطرف الأيمن = مج (ح ر)^2 حيث ر من 1 إلى ك ، ح ر = س + (ر-1) د

الطرف الأيسر = (ك\6)[6س^2 + د(ك – 1)(6س + د(2ك - 1))]


نثبت أن العبارة صحيحة عند ن = ك +1

الحد المضاف للطرفين = (ح (ك+1)) = (س +ك س) ^2

الطرف الأيمن = مج (ح ر)^2 + (س +ك س) ^2 حيث ر من 1 إلى ك

الطرف الأيسر = (ك\6)[6س^2 + د(ك – 1)(6س + د(2ك - 1))] + (س +ك س) ^2

وعليه يصبح الطرفين

الطرف الأيمن = مج (ح ر)^2 حيث ر من 1 إلى (ك +1)


الطرف الأيسر =[ك س^2 + د ك (ك-1) س + (د^2ك (2ك-1)(ك-1))/6] +[س^2 +2س د ك + ك^2 د^2]

بأخذ العامل المشترك الحد الأول مع الحد الأول و الحد الثاني مع الحد الثاني ...

س^2 (ك +1) + س [ دك^2 -دك +2دك ] + ك د^2/6 [(2ك^2 -3ك +1 +6ك ]

بالتبسيط نصل أن

الطرف الأيسر = ((ك+1)\6)[6س^2 + دك(6س + د(2ك + 1))]

وهو المطلوب أثباته

 

 

مشكورين على المشاركة والحلول الرائعة والمتنوعة
اخ جعفر واخ سيد كامل في انتضار الجديد والمفيد منكم

اخوكم\يوسف