برهن أنه إذا تحققت العلاقة : جتا ب × جتا جـ × جتا د = 1/8 في المثلث ب جـ د فإن ب جـ د مثلث متساوي الأضلاع

 

 

السلام عليكم
يمكن ذلك باستخدام قانون الجتا بإعتبار ان المثلث هو أ ب ج وأن أطول الأضلاع هى أَ َ ، ب َ ، جــَ

حتا أ = ( بً2 + جـَ2- أ َ2) / 2 ب جـ _______________ (1)
حتا ب = ( أََ َ2 + جـَ2- ب َ2)/ 2 أ جـ _______________ (2)
حتا حـ = ( أ َ2 + بَ2 - جـ َ2)/ 2 أ ب _______________ (3)

بضرب (1) × (2) × (3)

( بً2 + جـَ2- أ َ2) ( بً2 + جـَ2- أ َ2)( بً2 + جـَ2- أ َ2) / 8 أ2 ب2جـ2= 1/8

ومنها بعد اختصار 8 فى الطرفين
( بً2 + جـَ2- أ َ2) / بَ2 × ( أ 2+ جـَ2-َ بَ2 ) /أََ2 ×( بً2 + جـَ2- أ َ2) /جـ2
= 1 × 1 × 1


وبمساواة كل جزء من الطرف الايمن بنظيره فى الايسر نجد
جـً2 - أ َ2 = صفر ______________________ أَ َ= جــَ (3)
من الجزء الثانى
بَ 2 - جـَ 2 = صفر _____________________ بَ = جــَ (4)
من (3) , (4)
يبتج ان أ َ = ب َ = جـ َ
اذن المثلث أ ب جـ يكون متساوى الاضلاع

هناك طريقة باستخدام المحددات اعتقد انها اسهل بكثير

 

 

حل ولا أجمل أستاذ وائل وياريت تعرض الحل الأخر للأفادة للجميع ولحضرتك جزيل شكري وتقديري