تطبيقات حساب التفاضل

النقط الحرجة :

وتعتبر النقط الحرجة من الأساسيات في هذا الباب ، حيث تعتمد عليها جميع الموضوعات .

تعريفها : هي النقط التي تكون عندها المشتقة تساوي صفرا ، أو تكون غير معرفة .

الدوال المطردة :

هي عملية تحديد فترات التزايد والتناقص للدالة على مجالها .

الطريقة :

* نوجد مجال الدالة
++++ نوجد مشتقة الدالة ثم نوجد أصفارها ومواضع عدم تعريفها .

++++* نحدد اشارة مشتقة الدالة دَ(س) على خط الأعداد ثم نقرر مايلي :

إذا كانت الإشارة موجبة + فإنها متزايدة وإذا كانت سالبة - فإنها متناقصة .

تمرين : ابحث اطراد الدالة : د(س) = س2 - 6س + 4 على مجالها ؟ .

الحل : الدالة متزايدة في ]- ∞ ، 3] ، وتزايدية في [3 ، ∞[ .

القيم العظمى والصغرى المحلية :

نظرية هامة : كل قيمة قصوى محلية هي نقطة حرجة والعكس غير صحيح .

نوجد القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة عن طريق تصنيف النقط الحرجة بطريقتين :

1- اختبار المشتقة الأولى : وذلك بتقسيم خط الأعداد بالنقط الحرجة ، ثم ندرس تغير اشارة دَ(س)

ثم نلاحظ التغير :

- إذا كان من تزايد ( + ) إلى تناقص ( - ) فيكون عند هذه النقطة الحرجة قيمة عظمى محلية للدالة .

- وإذا كان من تناقص إلى تزايد فعندها يكون للدالة قيمة صغرى محلية .

- وإذا كانت اشارة دَ لم تتغير على خط الأعداد حول النقطة الحرجة (من + إلى + ، أو من - إلى - ) فإنها ليست قصوى محلية .

2- اختبار المشتقة الثانية :

لتكن جـ نقطة حرجة للدالة د :

- إذا كانت دً(ج) موجبة فإنها قيمة صغرى محلية للدالة.

- إذا كانت دً(ج) سالبة فإنها قيمة عظمى محلية للدالة .

- إذا كانت دً(ج) = 0 أو غير معرفة فإن اختبار دً فاشل ، وعندها نستخدم اختبار المشتقة الأولى .

تمرين : أوجد القيم القصوى المحلية للدالة : د(س) = 12 + 2س2 - س4 .
التقعر ونقط الانقلاب :

متى نقول عن دالة د بأنها مقعرة لأعلى أو لأسفل ؟

* نقول أنها مقعرة لأعلى في الفترة ]أ ، ب[ إذا كان المنحنى واقعا فوق مماساته في الفترة .

* نقول أنها مقعرة لأسفل في ]أ ، ب[ إذا كان المنحنى واقعا تحت مماساته في الفترة .

ماهي نقط الانقلاب (الانعطاف) ؟ .

هي نقطة من مجال الدالة يتغير حولها التقعر .

كيف تبحث التقعر ونقط الانقلاب ؟ .

1- نوجد المجال .

2- نوجد المشتقة الثانية دً(س) ، ومنها نوجد أصفارها ونقط عدم وجودها .

3- نبحث اشارة دً على خط الاعداد ونقرر ما يلي :

* إذا كانت موجبة (+) فإن المنحنى مقعر لأعلى ، وإذا كانت سالبة فإنه مقعر لأسفل .

4- عندما يحدث تغير في التقعر من أعلى لأسفل أو العكس فإنها نقطة انقلاب .

تمرين :حدد تقعر منحنى الدالة د(س) = س3 - 6س2 + 2س -3 ، ثم أوجد نقط الانقلاب ؟ .

الحل : المنحنى مقعر لأعلى في [2 ، ∞[ ، ومقعر لأسفل في ]- ∞ ، 2] ، ونقطة الانقلاب هي (2 ، -15) . عليك تفصيل خطوات الحل في خط الاعداد .

رسم المنحنيات (كثيرات الحدود) :

عزيزي الطالب اجعل رسم المنحنيات أمرا سهلا ولا تصعب عليك الأمور وهي سهلة ، هناك خطوات أساسية تضمن لك رسم المنحنى بدقة وجميعها تعتمد على المواضيع السابقة .

خطوات رسم المنحنى لدالة :

1- دراسة الدالة من حيث :

* تحديد المجال .

++++ التناظر : إذا كانت د(-س) = د(س) فإن الدالة زوجية إذن المنحنى متماثل حول محورص .

إذا كانت د(-س) = - د(س) فإن الدالة فردية ، إذن المنحنى متماثل حول نقطة الأصل .

++++* التقاطع : مع محور ص 000 نضع س = 0 ثم نعوض بالدالة ، أي (د(0) ، 0) .

مع محور س 000نضع ص = 0 ثم نحل المعادلة ونوجد قيم س ونعوض بالدالة .

2- دراسة مشتقة الدالة دَ من حيث : الاطراد والقيم القصوى المحلية (تصنيف النقط الحرجة) .

3- دراسة المشتقة الثانية للدالة دً من حيث التقعر ونقط الانقلاب .

4- يمكن أن تحتاج لنقط مساعدة لإكمال رسم المنحنى .

تمرين : ارسم منحنى الدالة التالية مع التفصيل : د(س) = 6س2 - س4 - 5

 

 

السلام عليكم
ابو رامي لك مني كل التحية
بجد انت انشط عضو في هذا المنتدي واحييك علي كل هذا العطاء والتفكير في الاخرين

 

 

إذا كنت أنا أنشط عضو فحضرتك أستاذ الكل أخي الحبيب أستاذ سيد كامل ولحضرتك كل الشكر

 

 

ملاحظة تعريف النقطة الحرجة ناقص تنتمي الى مجال الدالة فمثلا المالا نهاية عندها المشتقة غير موجودة لكنها ليست حرجة