( منقول)

جد مربع عدد طبيعي والذي هو عبارة عن حاصل ضرب اربعة اعداد

فردية متتالية.

 

 

مرحبا

بفرض أن الأعداد الفردية المضروبة في بعضها هي كالتالي :

(2ن-1)(2ن+1)(2ن+3)(2ن+5)

لكي يكون العدد مربعاً يجب أن يكون حاصل ضرب أحد القوسين = حاصل ضرب القوسين الآخرين

وهناك ثلاثة احتمالات لذلك وهي :

(1 × 2 ، 3 × 4 ) ، أو ( 1 × 3 ، 2 × 4 ) ، أو ( 1 × 4 ، 2 × 3 )

حيث الأرقام ( 1 ، 2 ، 3 ، 4 ) تشير إلى القوس الأول والثاني والثالث والرابع .

الاحتمال الأول :

(4ن^2-1)(4ن^2+16ن+15)

لكي يكون العدد مربعا يجب أن يكون (4ن^2-1)=(4ن^2+16ن+15)

أي 16ن+15=-1 ، ومنها ن = -1

------------

الاحتمال الثاني:
(4ن^2+4ن-3)=(4ن^2+12ن+5)
ومنه ن = -1 أيضاً .

------------

الاحتمال الثالث :
(4ن^2+8ن-5)=(4ن^2+8ن+3)
وهذا لا يمكن لأنه يؤدي إلى أن -5 = 3 !!!!

--------------------

إذن الاحتمال الوحيد هو أن ن = -1

ومنها الأعداد هي -3 ، -1 ، 1 ، 3

للتحقق :

(-3)(-1)(1)(3) = 9 ( سليم )

ولكن السؤال هنا ، هل إن الأعداد الفردية تشمل الأعداد السالبة أيضاً ، أم فقط الأعداد الطبيعية يا ترى ؟؟

أعتقد أنها تشمل الأعداد السالبة أيضاً .

تحياتي

 

 

أهلالالالا بالأخوين عدد تخيلي و السيف.
هناك حل وحيد هو الذي توصل إليه الأخ عدد تخيلي.
لكن لدي ملاحظة بسيطة تسهل لنا إيجاد الحلول وهي اعتبار الأعداد :
(2n-3) ,(2n-1) ,(2n+1) , (2n+3)
المعادلة تصبح : ( y^2=(4n^2-1)(4n^2-9
ثم نعتبر d القاسم المشترك الأكبر للعددين :
4n^2-1 و 4n^2-9
d يقسم فرقهما 8 إذن d=1 أو d=2 أو d=4 أو d=8 .
وبماأن العددين فرديين فإننا نستبعد الأعداد الزوجية 2 و 4 و 8 .
إذن d=1 .وبالتالي يمكن كتابة 4n^2-1=a^2 و 4n^2-9=b^2 .
أو 4n^2-1=-a^2 أو 4n^2-9=-b^2 .
في الحالة 1 : نحسب الفرق فنجد a^2-b^2=8 .
أي :8=(a-b)(a+b ) .
وحيث أن a-b+a+b=2a زوجي فإن a-b و a+b إما زوجيين معا أو فرديين معا. وباعتبار أن :
a-b أصغر من a+b فإن :
a-b=2 و a+b=4 نجد a=3 و b=1 ومنه 4n^2-1=9 أي n^2=2,5 وهذا مستحيل.
a-b=-4 و a+b=-2 نجد a=-3 و b=1 ومنه 4n^2-1=9 أي n^2=2,5 وهذا مستحيل أيضا.
في الحالة 2 : نحسب الفرق فنجد : b^2-a^2=8 أي 8 =(b-a)(b+a)
b-a=2 و b+a=4 نجد b=3 و a=1 ومنه 4n^2-1=-1 أي n=0 .
b-a=-4 و b+a=-2 نجد b=-3 و a=1 ومنه 4n^2-1=-1 أي n=0 .
إذن في الحالتين معا n=0 وبالتالي الأعداد الفردية المتتابعة الوحيدة التي حاصل ضربها مربع كامل هي -3 , -1 , 1 , 3 .
تحياتي.

 

 

طوال عمرك مبدع أخي عمر

شكرا على الملاحظة

 

 

فعلاً أنتما مبدعان

أشكركما على مشاركتما الجميلة.