ظل زاوية مثلث عدد صحيح طبيعي .

12-07-2007, 03:06 AM

حدد جميع المثلثات ABC بحيث تكون (tan(A و (tan(B و (tan(C أعداد صحيحة طبيعية .

12-07-2007, 07:56 AM

السلام عليكم
اعتقد أن :
ظا أ = 1 ، ظا ب = 2 ، ظا جـ = 3 طبعا مع ابدالهم
تحياتى

16-07-2007, 07:34 AM

السلام عليكم
لم ترد اخى عمر
ارجو ان يكون المانع خير
بالمناسبة انا استخدمت القانون
ظاأ + ظا ب + ظا جـ = ظا أ ظا ب ظاجـ
وحيث انها اعداد صحيحة فان 1 ، 2 ، 3 هى الاعداد الصحيحة الوحيدة
التى مجموعها = حاصل ضربها
تحياتى
ارجو الرد

16-07-2007, 02:34 PM

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة محمدحسين [ مشاهدة المشاركة ]

السلام عليكم
لم ترد اخى عمر
ارجو ان يكون المانع خير
بالمناسبة انا استخدمت القانون
ظاأ + ظا ب + ظا جـ = ظا أ ظا ب ظاجـ
وحيث انها اعداد صحيحة فان 1 ، 2 ، 3 هى الاعداد الصحيحة الوحيدة
التى مجموعها = حاصل ضربها
تحياتى
ارجو الرد

حلك أخي الكريم صحيح لكنه مختصر جدا .. لذلك كنت أنتظر تفاصيل أكثر .

فعلا مفتاح المسألة هو القانون( tan(A)+tan(B)+tan(C)=tan(A)tan(B)tan(C

بقي الآن إثبات أن الأعداد الصحيحة الطبيعية التي مجموعها يساوي حاصل ضربها هي 1 و 2 و 3 .

تحياتي .

18-08-2007, 06:37 AM

السلام عليكم
ارجو منك اخى عمر ان تدرج الاثبات
لم استطيع اثبات ان الاعداد الصحيحة التى مجموعها يساوى حاصل ضربها هى 1 ، 2 ، 3
اتمنى ان تدرج الحل
تحياتى

21-08-2007, 02:34 AM

بوضع $a=\tan(A)$ و $b=\tan(B)$ و $c=\tan(C)$ تعود المسألة إلى حل المعادلة الديوفانتية $abc=a+b+c$ حيث $a$ و $b$ و $c$ أعداد صحيحة موجبة قطعا ؟

لاحظ أولا أنه لايمكن أن يكون للمثلث $ABC$ زاية منفرجة لأن في هذه الحالة يكون $\tan(A)$ أو $\tan(B)$ أو $\tan(A)$ سالبا وهذا يناقض كونها موجبة .
ثانيا لايمكن أن يكون المثلث قائم الزاوية في A مثلا لأن في هذه الحالة سيكون $\tan (A) =+ \infty$
ثالثا لايمكن أن يكون متساوي الساقين مثلا $b = c$ لأن هذا يستلزم $a+2b=ab^2$ أي $a=\frac{2b}{b^2-1}$ .
ومنه $a - 1 = \frac{{2 - (b - 1)^2 }}{{b^2- 1}}$ .
ومن هذه المتساوية الأخيرة نثبت بسهولة أن إذا كان $b \ge 3$ فإن $a \prec 1$ وطبعا هذا غير ممكن مادام $a$ عدد صحيح موجب غير منعدم .
إذن المثلث زواياه كلها حادة والأضلاع غير مختلفة ومنه يمكن أن نفترض أن $a \prec b \prec c$ ومنه $a+b+c \prec 3c$ .
وبما أن $abc= a+b+c$ فإن $abc \prec 3c$ أي $ab \prec 3$ وحيث أن العددين صحيحين موجبين فإن $a=1$ و $b=2$ .
وبالتعويض في المعادلة $a+b+c=abc$ نجد $c=3$ .
وبالتالي يوجد مثلث وحيد يحقق شروط المسألة :
$\tan(A)=1$ أي $A = 45^0$
$\tan(B)=2$ أي $B =63,4349^0$ .
$\tan(C)=3$ أي $C=71,5650^0$ .

21-08-2007, 06:19 AM

السلام عليكم
شكرا لاهتمامك وردك اخى
والحل رائع وربنا يزيدك
تحياتى


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة