معادلات ديوفانتس (Diophantus Equations)

تمهيد :

هي المعادلات التي سماها العرب المعادلات السيالة أي لها عدد لانهائي من الحلول
وهي معادلات بعدة متغيرات تخرج بأجوبة كثيرة .

تنسب هذه المعادلات إلى العالم اليوناني ديوفانتس الذي عاش حوالي 250 بعد الميلاد في الاسكندرية .
وكان أثر المصريين والبابليين بارزاً جداً في أعماله .

لم يضع ديوفانتس حلاً عاماً لهذه المعادلات بل كان يحل كل مسألة حلاً مستقلاً
لايستند إلى قاعدة عامة , ويجد الحلول الصحيحة لها .


معادلات ديوفانتس الخطية بمجهولين :

نكتب هذه المعادلات على النحو : ax+by=n حيث a,b,n أعداد صحيحة
ولنبحث عن الحلول الصحيحة لهذه المعادلات .

نلاحظ أولاً أنه قد يكون لمعادلة خطية من هذا النوع أكثر من حل ,

وعلى سبيل المثال نلاحظ أن كل من الثنائيات (4,1),(6,6-),(2-,10)
تحقق المعادلة 3x+6y=18

وقد لا يكون لمثل هذه المعادلات أي حل ,
فعلى سبيل المثال المعادلة 2x+10y=7 ليس لها أي حل
لأن الطرف الأول من المعادلة عدد زوجي والطرف الثاني عدد فردي .

 

 

مبرهنة :

إذا كان لدينا المعادلة (1) ax+by=c حيث c عدد صحيح , a,b عددان صحيحان غير معدومين معاً
فإنه يكون لهذه المعادلة حل إذا وفقط إذا كان d "القاسم المشترك الأعظم لـ a,b" يقسم الطرف الثاني c .
وإذا كان (x₀,y₀) حلاً خاصاً لهذه المعادلة فإن جميع الحلول تعطى بالعلاقات :
x=x₀+bt/d
y=y₀-at/d
حيث t عدد صحيح ما .

ملاحظة (1): إذا كان d=1 فإن
x=x₀+bt
y=y₀-at
هي جميع حلول المعادلة (1)(والمعادلة لها حل دوماً)

ملاحظة (2):لحل المعادلة (1) نبدأ بتعيين القاسم المشترك الأعظم للعددين a,b
ثم كتابته كتركيب خطي لهما ومن ثم نعين حلول المعادلة (1).

 

 

تمارين

تمرين (1): عين جميع حلول المعادلة 172x+20y=1000 إن وجدت ؟

 

 

172x+20y=1000
نعين القاسم المشترك الاعظم للعديين 20 ,172 هو العدد 4
حل خاص نضع س=0 ====>>ص=50
الحل س = 0+ 20t/4
س= 5t
ص= 50- 172t/4
ص= 50 - 43t

 

 

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة مها [ مشاهدة المشاركة ]

172x+20y=1000 نعين القاسم المشترك الاعظم للعديين 20 ,172 هو العدد 4 حل خاص نضع س=0 ====>>ص=50 الحل س = 0+ 20t/4 س= 5t ص= 50- 172t/4 ص= 50 - 43t

حل صحيح ... بارك الله فيك ,

تجدر الملاحظة أنه يمكن الحصول على الحل الخاص بالتجريب أو باتباع خوارزمية إقليدس كما يلي :

12+20×8=172
8+12×1=20
4+8×1=12
0+4×2=8
ومنه : 4=(172,20) = d

نلاحظ أن 4 يقسم 1000 إذاً للمعادلة حل لإيجاد الحل نكتب :
=(12-20)-12=8-12=4
20-(20×8-172)2=20-12×2
20(17-)+(172)2=4
ومنه:
[20(17-)+172×2]250=250×4=1000
20×(4250-)+172×(500)=
أي:
y₀=-4250 , x₀=500
والحل الكامل للمعادلة :
x=500+20t/4=500+5t
y=-4250-172t/4=-4250-43t

واضح أن هذه الطريقة أطول وأصعب لكنها الخوارزمية العامة لحل أي معادلة
يصعب تعيين حلها الخاص .

 

 

تمارين إضافية :

عين حلول كل من المعادلات التالية إن وجدت :

6x+51y=22
7x+9y=5
56x+72y=40
24x+138y=18
221x+91y=117
84x-438y=165
30x+17y=300
158x-57y=7
54x+21y=906
123x+360y=99
2x+11y=5
18x-21y=15
2x+12y=6

 

 

سلام عليكم

شكراً لك أستاذ حسام على هذا المجهود المفيد والرائع

حل المعادلة :



لايجاد القاسم المشترك الأعظم :







إذن القاسم المشترك الأعظم هو 8 وهو يقسم 40

وبما أن :



إذن :



إذن الحل الخاص هو :



والحل العام هو :

 

 

la245

على استخدام مدرج الرموز ، مشاركة انيقة


للأستاذ حسام محمد على الموضوع