المشتقة الأولى للدوال المثلثية

أولاً : حاس

رسم منحنى الدالة مبين بالشكل حيث – 1 ³ حا س ³ 1

د(س) = حا س .............. (1)

د(س + هـ) = حا( س + هـ ) ........... (2) بإحداث تغير صغير جداً قدره هـ

وبالطرح (1) ، (2)

ت(هـ) = حا( س + هـ) – حا س حيث ت(هـ) = د(س + هـ) – د(س) وبتطبيق قوانين حساب المثلثات نحصل على

ت(هـ) = [حا( س + هـ) – حا س]

ت(هـ) = 2 حتا½(س + هـ + س) حا½(س + هـ –س)

ت(هـ) = 2 حتا½(2س + هـ) حا½(هـ) وبالقسمة على هـ نحصل على م(هـ) وهو متوسط معدل التغير

م(هـ) = [2 حتا½(2س + هـ) حا½(هـ)] ÷ هـ= حتا½(2س + هـ) × [حا½(هـ) ÷ ½هـ] وبأخذ النهاية عندما هـ تؤول للصفر

م(هـ) = حتا½×2س × 1 لأن نهاية [حا½(هـ) ÷ ½هـ] = 1 عندما ½هـ تؤول للصفر

د¯(س) = حتاس



نتيجة : د(س) = حا[ق(س)] فإن : د¯(س) = حتا[ق(س)] × ق¯(س)



نتيجة : د(س) = حان[ق(س)] فإن : د¯(س) = ن [حان – 1ق(س)] × حتاق(س) × ق¯(س)




--------------------------------------------------------------------------------



مثال(1) :

أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = س2 حا س

الحــل :

مشتقة حاصل ضرب دالتين (س2 ، حاس) = الدالة الأولى × مشتقة الدالة الثانية + مشتقة الدالة الأولى × الدالة الثانية

ص¯ = س2حتاس + 2 س حا س


--------------------------------------------------------------------------------



مثال(2) :

إذا كانت د(س) = حا( 2 س + 3 ) فأوجد د¯(س) عند س = 43.5ه

الحــل :

د¯(س) = حتا(2 س + 3) × 2 مشتقة الدالة الدائرية × مشتقة الزاوية

د¯(س) = 2 حتا(2 س + 3) عند أي قيمة للمتغير س

د¯(43.5ه) = 2حتا( 2 × 43.5ه + 3) = 2 حتا90ه = 2 × 0 = 0


--------------------------------------------------------------------------------



مثال(3) :

أوجد المشتقة الأولى للدالة ق(س) = 3 حا3(2 س2 + 3س +1)

الحـل :

ق¯(س) = 3 × 3[حا2(2 س2 + 3س +1)] × [حتا(2 س2 + 3س +1)] × ( 4 س + 3)

ق¯(س) = 9(4 س + 3)حا2(2 س2 + 3س +1)حتا(2 س2 + 3س +1)


--------------------------------------------------------------------------------



مثال(4) :

أوجد المشتقة الأولى للدالة ص = حا2س حتا2س

الحـل :

يمكن حل المسألة على أساس حاصل ضرب دالتين ولكن لدينا قانون حا2س = 2 حاس حتاس وهذا يقودنا لجعل المسألة في جيب الزاوية

ص = 4 حا2س حتا2س ÷ 4

ص = ¼ حا2(2س)

ص¯ = ¼ × 2 حا2س × حتا2س × 2

ص¯ = حا2س × حتا2س

ص¯ = ½ حا4س


--------------------------------------------------------------------------------



ثانياً : حتاس

د(س) = حتا س .............. (1)

د(س + هـ) = حتا( س + هـ ) ........... (2) بإحداث تغير صغير جداً قدره هـ

وبالطرح (1) ، (2)

ت(هـ) = حتا( س + هـ) – حتا س حيث ت(هـ) = د(س + هـ) – د(س) التغير في الدالة

وبتطبيق قوانين حساب المثلثات نحصل على

ت(هـ) = [حتا( س + هـ) – حتا س]

ت(هـ) = –2 حا½(س + هـ + س) حا½(س + هـ –س)

ت(هـ) = –2 حا½(2س + هـ) حا½(هـ) وبالقسمة على هـ نحصل على م(هـ) وهو متوسط معدل التغير

م(هـ) = [–2 حا½(2س + هـ) حا½(هـ)] ÷ هـ= – حا½(2س + هـ) × [حا½(هـ) ÷ ½هـ] وبأخذ النهاية عندما هـ تؤول للصفر

م(هـ) = – حا½×2س × 1 لأن نهاية [حا½(هـ) ÷ ½هـ] = 1 عندما ½هـ تؤول للصفر

د¯(س) = – حاس

نتيجة : د(س) = حتا[ق(س)] فإن : د¯(س) = – حا[ق(س)] × ق¯(س)

نتيجة : د(س) = حتان[ق(س)] فإن : د¯(س) = ن [حتان – 1ق(س)] × – حاق(س) × ق¯(س) وهذا ينطبق على باقي الدوال الدائرية


--------------------------------------------------------------------------------



مثال(1) :

إذا كانت س حا ص + ص حتا س = 0 فأوجد ص¯

الحـل :

بإجراء الاشتقاق لحاصل ضرب دالتين على حديّ المعادلة

س حتا ص × ص¯ + 1× حا ص + ص × – حاس + ص¯ حتا س =0

ص¯( س حتا ص + حتا س) – ( ص حا س – حا ص ) = 0

ص¯ = ( ص حا س – حا ص ) ÷ ( س حتا ص + حتا س)


--------------------------------------------------------------------------------



مثال(2) :

إذا كانت د(س) = 2 حتا2س – 1 فأوجد د¯(45ه)

الحـل :

د¯(س) = 2 × 2 حتا س × (– حا س)

د¯(س) = –4 حتا س حا س يمكن وضعها بالصورة

د¯(س) = –2 حا2س حيث حا 2س = 2 حاس حتاس

د¯(45ه) = –2 حا2×45ه

د¯(45ه) = –2 حا90ه

د¯(45ه) = –2 × 1

د¯(45ه) = –2

حـل آخر

د(س) = حتا2س لأن حتا2س = حتا2س – حا2س = 2 حتا2س – 1 = 1 – 2 حا2س

د¯(س) = – حا2س × 2

د¯(س) = –2 حا2س

د¯(45ه) = –2 حا90ه = – 2 × 1 = – 2


--------------------------------------------------------------------------------




ثالثاً : طا س

د(س) = طا س يمكن البرهنة بنفس الطريقة السابقة ولكن سنستخدم الطريقة التاللية

د(س) = حا س ÷ حتا س بالاشتقاق كقسمة دالتين

د¯(س) = [ حتا س × حتا س – حا س × – حا س ] ÷ حتا2س

د¯(س) = [ حتا2س + حا2س ] ÷ حتا2س

د¯(س) = 1÷ حتا2س

د¯(س) = قا2س

نتيجة : د(س) = طا[ق(س)] فإن : د¯(س) = قا2[ق(س)] × ق¯(س)


--------------------------------------------------------------------------------



رابعاً : طتا س

هنا يمكن استخدام الطريقة العادية باستخدام المبادئ الأولية أو طتاس = حتاس ÷ حاس أو طتاس = طا(½ ط – س) أو طتاس = 1 ÷ طاس

د(س) = طتا س

د(س) = طا(½ ط – س)

د¯(س) = قا2(½ ط – س) × – 1

د¯(س) = – قتا2س


--------------------------------------------------------------------------------



خامساً : قا س

د(س) = قا س

د(س) = 1 ÷ حتا س

د¯(س) = [ حتا س × 0 – 1 × – حا س ] ÷ حتا2س

د¯(س) = حا س ÷ حتا س جتا س

د¯(س) = قا س طا س


--------------------------------------------------------------------------------



سادساً : قتا س
د(س) = قتا س

د(س) = 1 ÷ حا س

د¯(س) = [ حا س × 0 – 1 × حتا س ] ÷ حا2س

د¯(س) = – حتا س ÷ حا س جا س

د¯(س) = – قتا س طتا س

أو

د(س) = قتا س

د(س) = 1 ÷ حاس = حا-1س

د¯(س) = – حا-2س × حتا س

د¯(س) = – حتا س ÷ حا س جا س

د¯(س) = – قتا س طتا س

مع اطيب التمنيات للجميع بألفهم والفائدة
ولاتنسونا بالدعاء وشكرا

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
شكرا لكم على حرصكم على تعميم الفئدة ، بارك الله بكم وأكثر من أمثالكم

 

 

السلام عليكم
جزاك الله خير أخانا الكريم
وفقك الله ... ،

 

 

[prety_b10]

روووووووعة بس المشكلة مش فاهم بعض الامور وهي مش موجودة في المنهاج الفلسطيني اول ثانوي ^^

 

 

بسم الله ماشاء الله عليك اخي العزيز اكثر من رائع والله العظيم تمام التمام

شكرا الف شكر ومنتظرين مزيدك دائما



اخوك احمد الديب ابو زياد

 

 

جزاك الله اخي
وجعله المولى في ميزان حسناتك