أوجد المجموع: سيجما من 1 إلى 999

13-12-2007, 02:59 PM

أوجد قيمة المجموع :

$\sum\limits_{k = 1}^{999} {\sqrt {1 + \frac{1}{{k^2 }} + \frac{1}{{(k + 1)^2 }}} }$

13-12-2007, 04:23 PM

وصلت لمنتصف الطريق :

فهل يستطيع أحد منكم الاكمال

$\sum_{k=1}^{999}\frac{k(k+1)+1}{k(k+1)}=999+\sum_{k=1}^{999}\frac{1}{k(k+1)}$

13-12-2007, 06:53 PM

بالكسور الجزئية :
1/(ن+1)ن = 1/ن - 1/(ن+1) سترى عند التعويض كل الحدود سيلغي بعضها الاخر الا الحد الاول والاخير وينتهي الامر بالمجموع :
999 +( 1 - 1/1000 ) = (10^6 -1 ) / 1000

13-12-2007, 07:17 PM

حقا ً التعاون شيء رائع

شكرا ً أخي الكريم على حلك الرائع

وسأكتبه باللاتيكس :

$\,=999+\sum_{k=1}^{999}(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=999+(1-\frac{1}{1000})\\\,\\\,\\=\frac{999999}{1000}=999,999$

13-12-2007, 07:56 PM

ماشاء الله عليك أستاذ أيمن ... دائماً متميز

وشكراً للأخ prime

وهذا توضيح للخطوة الأولى :

$1 + \frac{1}{{k^2 }} + \frac{1}{{(k + 1)^2 }} = \frac{{k^2 (k + 1)^2+ (k + 1)^2+ k^2 }}{{k^2 (k + 1)^2 }}$

$= \frac{{k^2 (k + 1)^2+ 2k^2+ 2k + 1}}{{k^2 (k + 1)^2 }} = \frac{{(k(k + 1))^2+ 2k(k + 1)^2+ 1}}{{(k(k + 1))^2 }}$

$= \frac{{(k(k + 1) + 1)^2 }}{{(k(k + 1))^2 }} = \left( {\frac{{k(k + 1) + 1}}{{k(k + 1)}}} \right)^2$

$\Rightarrow \sqrt {1 + \frac{1}{{k^2 }} + \frac{1}{{(k + 1)^2 }}}= \frac{{k(k + 1) + 1}}{{k(k + 1)}}$


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة