السلام عليكم
سوف أطرح في موضوعي القديم الجديد قابلية القسمه على الأعداد من 2 إلى9
آملا من الزملاء الكرام بمواصلة باقي الموضوع بالإضافة و الرد و التعليق لكي يكون بين يدي الجميع كمرجع وقت الحاجة اليه و بارك الله بكم

 

 

مشكوووووووووووور على المعلومات
ولكني أعلم طريقة ثانية للعدد 7
يقبل العدد القسمة على 7 إذا :
(العدد دون الآحاد- ضعف الآحاد ) باقي الرقم يقبل القسمة على 7.
مثال: 178276
ضعف الآحاد = 6×2=12
العدد دون الآحاد = 17827
ناتج الطرح = 17827-12=17815 و يقبل القسمة على 7.
للتحقق نكرر العملية.
ضعف الآحاد =10
العدد دون الآحاد =1781
ناتج الطرح = 1781-10=1771 و يقبل القسمة على 7.
للتحقق نكرر العملية.
ضعف الآحاد =2
العدد دون الآحاد =177
ناتج الطرح =177-2=175 و يقبل القسمة على 7.
للتحقق نكرر العملية.
ضعف الآحاد =10
العدد دون الآحاد =17
ناتج الطرح =17-10=7 و يقبل القسمة على 7.
إذا العدد 178276 يقبل القسمة على العدد 7 .
وشكرا

 

 

فعلا طريقة حلوه أول مره أشوفها
اذا كان برهان هذه الطريقة لديك أرجو ارفاقه
بارك الله بك على المشاركه الجميله

 

 

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ...

جزاك الله خيراً أستاذنا الكريم / ابن خلدون
بارك الله فيك ...

وشكراً للأستاذ mathson ... الذي زاد من إثراء الموضوع ...

وبرهان طريقته للتحقق من قابلية القسمة على 7
قدمها الأستاذ الفاضل / عسكر - حفظه الله - على الرابط

http://www.uaemath.com/ar/aforum/sho...p?t=117&page=3

المشاركة رقم (27)

بارك الله في الجميع .... ،

 

 

جزاكم الله كل الخير
مثل هذه المواضيع دائماً جديدة وإن شاء الله سوف أعد لكم عدد من المشاركات في نفس الموضوع .

مشكورين علي المرور

 

 

اقتباس : المشاركة الأصلية كتبت بواسطة khk.kom [ مشاهدة المشاركة ]

فعلا طريقة حلوه أول مره أشوفها اذا كان برهان هذه الطريقة لديك أرجو ارفاقه بارك الله بك على المشاركه الجميله

فكرت في برهان لها ولكن توصلت الي أفكار يمكن أن تكملها للوصول للحل .

لاحظ معي :

3 × 7 = 21 ==> 1 + 20×1
6 × 7 = 42 ==> 2 + 20×2
9 × 7 = 63 ==> 3 + 20×3
.
.
.
.
.
21 × 7 = 147 ==> 7 + 20×7
.
.
.
45 × 7 = 315 ==> 15 + 20×15



ولكن أين

4×7 = 28



==> نطرح 7 أولاً ==> 28 -7 = 21 ==> 1 + 20× 1 نعود لما سبق .



5 × 7 = 35 ==> 35 - 7 = 28 ==> 28 - 7 = 21 ==> ........


نلاحظ ان النواتج في الأساس مضاعفات للعدد 21 ==>


a + 20a = 21a


(غير منقول)

وللموضوع بقية إن شاء الله .


أشرف الدسوقي

 

 

وهذا الكلام منقول ولكنه من صلب الموضوع

والآن أي عدد مهما كان عدد مراتبه ( منازله آحاد ، عشرات ، مئات ، ألوف ، . . . )

نأخذ الآحاد ونسميه ب ثم نأخذ العدد المتبقي ونسميه حـ
القاعدة :
قابلية القسمة على 7
إذاكان العدد ( 2 × ب - حـ ) من مضاعفات السبعة ===> العدد المذكور يقبل القسمة على 7

البرهان :
نقوم بتجزئة العدد الى جزأين الاول ب والثاني جـ

أي عدد = ب + 10 حـ
نأخذ 2 × ب - حـ
نأخذ 2 × ب - حـ
نأخذ 2 × ب - حـ
------------------- نجمع الأعداد السابقة الأربع نجد
====> 7 × ب + 7 حـ وهذا يقبل القسمة على 7

إذن إذا كان ( 2 × ب - حـ ) يقبل القسمة على 7 فإن العدد المطلوب يقبل القسمة على 7

مثال1: 105
ب = 5
جـ = 10
2 × ب - حـ = 0 وهو من مضاعفات 7 فالعدد 105 يقبل القسمة على 7
مثال2:
875 يقبل القسمة على 7
لأن ب=5 ، حـ = 87
و 2×ب-حـ= 10- 87 = -77 يقبل القسمة على 7
مثال3:
5782 يقبل القمة على 7 تطبق القاعدة ذاتها مرتين متتاليتين:
الأولى: 4 - 578 = - 574 نطبق القاعدة على العددالناتج دون النظر للإشارة أي |العدد|
الثانيه: 8 - 57 = - 49 وهو يقبل القسمة على 7 ===> 5782 يقبل القسمة على 7
ملاحظة : يمكن أن نأخذ ( حـ - 2 × ب ) بدلا من ( 2 × ب - حـ ) لأن الفرق بالإشارة فقط
النتيجة:
أي عدد يجزأ إلى جزأين الأول ب = أحاد العدد
والجزء الثاني حـ = العدد الناتج من حذف رقم الآحاد

إذاكان العدد: حـ - 2 × ب من مضاعفات 7 فإن العدد المجزأ يقبل القسمة على 7
وبنفس الطريقة يمكن الاستنتاج:

يقبل عدد ما القسمة على 7 إذاكان 2 × ب - حـ يقبل القسمة على 7

يقبل عدد ما القسمة على 13 إذاكان 4 × ب + حـ يقبل القسمة على 13

يقبل عدد ما القسمة على 17 إذاكان حـ - 5 × ب يقبل القسمة على 17

يقبل عدد ما القسمة على 19 إذاكان 2 × ب + حـ يقبل القسمة على 19

يقبل عدد ما القسمة على 23 إذاكان 7 × ب + حـ يقبل القسمة على 23

نكرر للإستفادة أكثر برهان قابلية القسمة على 29 :
أي عدد يجزأ إلى جزأين الأول ب = أحاد العدد
والجزء الثاني حـ = العدد الناتج من حذف رقم الآحاد

العدد يكتب ب + 10 حـ
نجمع له 19 ( 3 × ب + حـ )
فيصبح الناتج: 58 × ب + 29 حـ = 29 ( 2 × ب + حـ ) وهو يقبل القسمة على 29

فإذا كان ( 3 × ب + حـ ) من مضاعفات 29 فحتما العدد سيقبل القسمة على 29 ونستطيع القول :

يقبل عدد ما القسمة على 29 إذاكان 3 × ب + حـ يقبل القسمة على 29

يقبل عدد ما القسمة على 31 إذاكان حـ - 3 × ب يقبل القسمة على 31

مع كل التحية للمشاركين

اشرف الدسوقي

 

 

عند تصفحي لموضوع قابلية القسمة علي القيم المختلفة

قابلني طريقة لمعرفة ما إذا كان العدد يقبل القسمة علي 7 أم لا .

وإليكم الطريقة .

1- نقوم بضرب كل منزلة من منازل العدد على حدة ابتداءا بالآحاد ثم العشرات

فالمئات وهكذا بالمتسلسلة 1 , 3 , 2 , 6 , 4 ، 5 وهكذا

2- نقوم بجمع حدود نواتج الضرب .

3- اذا كان المجموع = مضاعف للعدد 7

فإن العدد يقبل القسمة عليه بدون باقي والا فلا .

لاحظ : إذا كان العدد اكثر من 6 أرقام

نعيد الضرب في نفس المتسلسة السابقة مرة أخري .


مثال : هل العدد 24586 يقبل القسمة على 7 بدون باقي ؟

الحل :


6* 1 + 8 * 3 + 5 * 2 + 4 * 6 + 2 * 4 = 72

وحيث أن العدد 72 ليس من مضاعفات العدد 7

لذلك فأن العدد 24586 لا يقبل القسمة على العدد 7 بدون باقي

مع تحياتي

اشرف الدسوقي .

 

 

وجدت لكم ما كنا نبحث عنه

قاعدة القسمة على 7 من أصعب قواعد القسمة في الأعداد التي اقل من 10

وهناك عدة طرق رقمية لاختبار قابلية القسمة على العدد 7 نذكر بعض منها.

الطريقة الأولى: عبارة عن خوارزمية مبسطة

تهدف إلى توليد عدد جديد أصغر من العدد الذي نبحث قابليته للقسمة

بحيث يكون الحكم علي هذا العدد الجديد(من حيث قابليته للقسمة على 7)

يكافئ تماما الحكم على العدد الأصلي.

سنبدأ شرح هذه الطريقة بالمثال التالي:

لنفرض أننا نريد بحث قابلية قسمة العدد 4578 على العدد 7.

تبدأ الخوارزمية (الطريقة الحسابية) بحذف خانة الآحاد بعد أن نأخذ ضعفها

لنطرحه من العدد المتبقي وهو 457 فنحصل على:

هذا الناتج سيقبل القسمة على 7 إذا وفقط إذا كان العدد الأصلي

يقبل القسمة على 7(سنثبت هذا بعد قليل).

طبعا هذا الناتج ما زال أكبر من أن نحكم عليه دون عناء لذلك

نكرر تطبيق الخوارزمية عليه للحصول على عدد أصغر منه

وهكذا نستمر حتى نحصل على عدد يمكن الحكم على قابليته للقسمة على العدد 7.

العملية تسير على النحو التالي:



لقد طبقنا الخوارزمية مرتين وحصلنا على العدد 42 الذي يقبل القسمة على 7

لذلك العدد قيد الاختبار 4578 يقبل القسمة على العدد 7.

مثال1: اختبر قابلية قسمة العدد 556677 على العدد 7 .

اثبات صحة الطريقة الأولى:

العدد الطبيعي N يمكن كتابته على الشكل10y + x

بضرب الناتج في (-2)

(وهذا لا يغير من قابلية القسمة على 7 لأن 2 و 7 أوليان نسبيا)

سنحصل على 20y - 2x -


بإضافة (21y) لهذا المقدار سنحصل على y -2x

هذا الناتج سيقبل القسمة على 7 إذا وفقط إذا كان ( 20y -2x -)

يقبل القسمة على العدد 7 لأن المقدار المطروح هو من مضاعفات العدد7.

العدد الناتج هو بالضبط العدد المعطى بعد حذف خانة الآحاد منه وطرح ضعفها من العدد المتبقي.

أي ان

وهذا يثبت صحة الطريقة التي اتبعناها في المثال 1 في التحقق من قابلية

القسمة لعدد معين على العدد 7.


يعاب على هذه الطريقة أنها ستكون مطولة جدا في حالة الأعداد الكبيرة.

على سبيل المثال العدد المكون من 20 خانة يحتاج لتطبيق الخوارزمية على


الأقل 16 أو 17 مرة حتى تحصل على عدد قابل للحكم على قاسميته.


الطريقة الثانية (طريقة باسكال):

طريقة غير مطولة وتعتمد على كل أرقام العدد ولكن تحتاج لحفظ الخوارزمية

الخاصة بها وتناسب الأعداد الكبيرة. وحتى نبرز هذه الميزة سنقوم بتطبيقها

على عدد كبير نوعا ما. كما أن العدد كثير الخانات سيساعد في ايضاح الأسلوب

المتبع في هذه الخوارزمية.

افرض لدينا العدد 54911654196 نريد اختبار قابليته للقسمة على 7 .

طريقة باسكال عبارة عن عملية ذات نمط تكراري ,

حيث تتكرر نفس الخطوات كل ثلاثة أرقام ولكن مع تغيير الإشارة.

دعنا نسمى الخطوات المطبقة على الثلاثة أعداد الأولى بالمرحلة الأولى ,

والخطوات المطبقة على الثلاثة أعداد التالية بالمرحلة الثانية وهكذا ... .

المرحلة الأولى هي:

الرقم الأول + 3 × الرقم الثاني + 2 × الرقم الثالث

6 + 3(9)+2(1)

المرحلة الثانية بنفس الإجراءات على الترتيب مع تغيير الإشارة الى سالب

- الرقم الرابع - 3× الرقم الخامس - 2× الرقم السادس

ثم المرحلة الثالثة ولكن باشارة موجبة ثم المرحلة الرابعة ولكن باشارة سالبة

وهكذا ونتوقف عندما ننتهى من كل أرقام العدد ثم نجمع كل نواتج هذه المراحل

والعدد المعطى يقبل القسمة على العدد 7 إذا وفقط إذا كان مجموع (باسكال)

يقبل القسمة على7.

إذا بتطبيق طريقة باسكال على العدد المعطى نحصل على:

6 + 3(9)+2(1) - 4 - 3(5) - 2(6) + 1 + 3(1)+2(9) - 4 - 3(5)= 7

وحيث أن المجموع يقبل القسمة على 7 فإن العدد الأصلي 54911654196

يقبل القسمة على 7.

لإجراء الحساب بشكل أسرع يمكن أن تضع ثلاثة اقواس بمعاملات 1, 2, 3 وتضع

داخل كل قوس الأرقام التابعة له وبالإشارة المناسبة:

(6 - 4 + 1 - 4) +3(9 - 5 + 1 - 5) +2(1- 6 + 9) = (-1) + (0) + 2(4) = 7

إثبات الطريقة الثانية:

من باب التنويع سنثبت صحة هذه الطريقة باستخدام مفهوم التطابقات .

الفكرة التي تقف خلف هذه الطريقة هي بواقي قوى العشرة عندد قسمتها

على 7 وهذا سرد لقوى العشرة وباقي قسمتها على 7 عبرنا عنه بمفهوم

التطابق معيار 7. تابع البواقي وقارنها بالأرقام الواردة في الطريقة الثانية.

1=1mod7

10=3mod7

100 =2mod7

1000 = 1mod7 -

10000 = 3mod 7 -

100000 = 2mod7 -

هذه هي البواقي المختلفة لقوى العشرة معيار 7 وهي (1,3,2,-1,-3,-2)

وبالاستمرار في

كتابة قوى 10 ستتولد نفس البواقي من جديد وبنفس الترتيب,

وهذا يفسر لنا طريقة باسكال ويثبت صحتها.

الموضوع منقول بتصرف .

اشرف الدسوقي

 

 

بارك الله بك أخي أشرف على المجهود الجبار فعلا معلومات قيمة و جميلة جدا
زادك الله علما يا اخي

برهان الطريقة الجميلة التي طرحها الأخ mathson