د(س+ص) + د(س-ص) = 2د(س)د(ص)

[mathson]

أوجد جميع الدوال f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} والتي تحقق
f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y)

[zouhirkas]

بتعويض x وy ب0 نجد
f(0)²=2f(0)²والتي تكافىءf(0)=0
بالرجوع إلى العلاقة ووضع x=y
نجد f(x)²=0 أي أن f(x)=0

[mathson]

بتعويض x وy ب0 نجد
f(0)²=2f(0)²والتي تكافىءf(0)=0
بالرجوع إلى العلاقة ووضع x=y
نجد f(x)²=0 أي أن f(x)=0

عفوا أخي ولكن هناك إشارة جمع !
f(0) + f(0) = 2f(0)^2

[zouhirkas]

بوضع xمكان y
نجد f(2x)+f(0)=2f(x)²
وبوضع x-مكان y
نجد ( f(0)+f(2x)=2f(x)f(-x
بجمع كلا الطرفين نجد f(x)=0 أو ( f (x)=f(-x
في حالة f زوجية
هناك مالا نهاية من الدوال الزوجية

[mathson]

بوضع xمكان y
نجد f(2x)+f(0)=2f(x)²
وبوضع x-مكان y
نجد ( f(0)+f(2x)=2f(x)f(-x
بجمع كلا الطرفين نجد f(x)=0 أو ( f (x)=f(-x
في حالة f زوجية
هناك مالا نهاية من الدوال الزوجية

جميل و لكن ليس كل الدوال الزوجية تحقق المطلوب، فمثلا لو افترضنا أن f(x) = x^2 لكان:
(x+y)^2 + (x-y)^2 = 2x^2y^2
وهذا بالطبع غير صحيح، لذا هناك دوال زوجية محددة تحقق المطلوب.

[zouhirkas]

بوضع0 مكان x نجد
(f(y)+f(-y)=2f(0)f(y بماأن الداة زوجية في هده الحالة فإن
f(0)=1
بوضعX مكانx+y نجد ( f(X)+f(X-2y)=2f(X-y)f(y
مرة 0 مكان Xنجد
f(y)=1/2
أي f(x)=1/2 و هدا تناقض مع كون f(0)=1
إدن الدالة الوحيدة التي تحقق هي f(x)=0

[mathson]

بوضعx مكانx+y نجد ( f(x)+f(x-2y)=2f(x-y)f(y
مرة 0 مكان xنجد
f(y)=1/2

لم أعرف كيف حصل هذا؟ هل من الممكن أن توضح ؟

[zouhirkas]

لم أعرف كيف حصل هذا؟ هل من الممكن أن توضح ؟

فقط في حالة زوجية إستعملت البرهان بالخلف

[mathson]

فقط في حالة زوجية إستعملت البرهان بالخلف

ليتك توضح.

[zouhirkas]

وضعت Xكبيرة مكان x+y تحقق

[mathson]

وضعت Xكبيرة مكان x+y تحقق

أقصد كيف استنتجت أن f(y)=1/2 بالتفصيل.

[zouhirkas]

أقصد كيف استنتجت أن f(y)=1/2 بالتفصيل.

لن أكثر عليك بعد أمد طويل وجدت مجموعة الدوال التي تحقق وهي
f(x)=a cos(x )
f(x)=0
f(x)=\frac{b^x+b^{-x}}{2}
a,b من R
سأدع الأخرين يشاركون

[mathson]

لن أكثر عليك بعد أمد طويل وجدت مجموعة الدوال التي تحقق وهي
f(x)=a cos(x )
f(x)=0
f(x)=\frac{b^x+b^{-x}}{2}
a,b من r
سأدع الأخرين يشاركون

إن كنت لا تمانع، هلا وضعت حلك حتى نستفيد ؟

[zouhirkas]

أنا فقط وضعت الدوال لأنني وجدت الحل ولكي يستطيع الأخرون المشاركة لم أضع التفاصيل

[معتز الخطيب]

وفى النهاية لم نعرف الحل .. !!

[mathson]

وفى النهاية لم نعرف الحل .. !!

يبدو أن الأستاذ زهير لم يضع الحل، لذا نجعله كسؤال مفتوح مرة أخرى.

[al-Razi]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

بسم الله الرحمن الرحيم


http://www.arabruss.com/uploaded/75086/1247618631.jpg

:)

[mathson]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

بسم الله الرحمن الرحيم


http://www.arabruss.com/uploaded/75086/1247618631.jpg

:)

سامحني أستاذي، لا يمكنني الحكم على حلك، فأنا لست خبيرا في الإشتقاق في متغيرين.
عل أحدا يساعدنا.

[al-Razi]

سامحني أستاذي، لا يمكنني الحكم على حلك، فأنا لست خبيرا في الإشتقاق في متغيرين.
عل أحدا يساعدنا.
أخي الكريم لم أفهم!
هل تقصد أن الحل المطلوب بدون إشتقاق؟
::clap:

[al-Razi]

أخي الكريم لم أفهم!
هل تقصد أن الحل المطلوب بدون إشتقاق؟
::clap:

:clap::clap::clap: