متفاوتة أولمبياد مغرب (بكلوريا علوم رياضية)

[ياسين]

xوyوz أعداد حقيقية موجبة قطعا.
بين أنhttp://www.uaemath.com/ar/aforum/math0685019001183633611.png.

[ياسين]

السلام عليكم
لقد وصلت الى الحل هل ادرج الحل ام انتضر محاولات الاخوة
و الاساتذة ؟
تحياتي.

[omar]

حل المسألة الجميلة

لدينا باستعمال متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي

x^2 + yz \ge 2x\sqrt {yz} و y^2 + xz \ge 2y\sqrt {xz} و z^2 + xy \ge 2z\sqrt {xy} .

إذن : \Large \frac{1}{{x^2 + yz}} + \frac{1}{{y^2 + xz}} + \frac{1}{{z^2 + xy}} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{{x\sqrt {yz} }} + \frac{1}{{y\sqrt {xz} }} + \frac{1}{{z\sqrt {xy} }})

أي : \Large \frac{1}{{x^2 + yz}} + \frac{1}{{y^2 + xz}} + \frac{1}{{z^2 + xy}} \le \frac{1}{2}\frac{{\sqrt {yz} + \sqrt {xz} + \sqrt {xy} }}{{xyz}}

من جهة أخرى ودائما باستخدام متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي لدينا:

\Large \sqrt {yz} \le \frac{{x + y}}{2} و \Large \sqrt {xz} \le \frac{{x + z}}{2} و \Large \sqrt {xy} \le \frac{{x + y}}{2} .

وبجمع هذه المتفاوتات الثلاث ينتج : \Large \sqrt {yz} + \sqrt {xz} + \sqrt {xy} \le x + y + z

إذن : \Large \frac{1}{{x^2 + yz}} + \frac{1}{{y^2 + xz}} + \frac{1}{{z^2 + xy}} \le \frac{1}{2}\frac{{x + y + z}}{{xyz}}

وبالتالي : \Large \frac{1}{{x^2 + yz}} + \frac{1}{{y^2 + xz}} + \frac{1}{{z^2 + xy}} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}})

هذا حلي للمسألة وإذا كان لديك حل آخر أخي ياسين فاطرحه لتعم الفائدة .

[ياسين]

شكرا اخي عمر و هو نفس الحل الدي
عندي لكني اخدت قيمة واحدة و عممت المسالة
مثلا لدينا http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0531824001187968468.png
يعني http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0141139001187968528.png
يعني http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0750507001187968689.png
و نعلم ان http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0282082001187968783.png
يعني http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0844263001187968836.png
يعني http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0641144001187968950.png
ثم يمكن تعميم القيم الاخرى على النتيجة فنحصل على المطلوب

تحياتي لك استاذي عمر