متفاوتة أولمبياد مغرب (بكلوريا علوم رياضية)

05-07-2007, 03:07 PM

xوyوz أعداد حقيقية موجبة قطعا.
بين أن.

06-08-2007, 12:24 AM

السلام عليكم
لقد وصلت الى الحل هل ادرج الحل ام انتضر محاولات الاخوة
و الاساتذة ؟
تحياتي.

24-08-2007, 07:02 PM

حل المسألة الجميلة

لدينا باستعمال متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي

$x^2+ yz \ge 2x\sqrt {yz}$ و $y^2+ xz \ge 2y\sqrt {xz}$ و $z^2+ xy \ge 2z\sqrt {xy}$ .

إذن : $\frac{1}{{x^2+ yz}} + \frac{1}{{y^2+ xz}} + \frac{1}{{z^2+ xy}} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{{x\sqrt {yz} }} + \frac{1}{{y\sqrt {xz} }} + \frac{1}{{z\sqrt {xy} }})$

أي : $\frac{1}{{x^2+ yz}} + \frac{1}{{y^2+ xz}} + \frac{1}{{z^2+ xy}} \le \frac{1}{2}\frac{{\sqrt {yz}+ \sqrt {xz}+ \sqrt {xy} }}{{xyz}}$

من جهة أخرى ودائما باستخدام متفاوتة الوسط الحسابي والهندسي لدينا:

$\sqrt {yz}\le \frac{{x + y}}{2}$ و $\sqrt {xz}\le \frac{{x + z}}{2}$ و $\sqrt {xy}\le \frac{{x + y}}{2}$ .

وبجمع هذه المتفاوتات الثلاث ينتج : $\sqrt {yz}+ \sqrt {xz}+ \sqrt {xy}\le x + y + z$

إذن : $\frac{1}{{x^2+ yz}} + \frac{1}{{y^2+ xz}} + \frac{1}{{z^2+ xy}} \le \frac{1}{2}\frac{{x + y + z}}{{xyz}}$

وبالتالي : $\frac{1}{{x^2+ yz}} + \frac{1}{{y^2+ xz}} + \frac{1}{{z^2+ xy}} \le \frac{1}{2}(\frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}} + \frac{1}{{xy}})$

هذا حلي للمسألة وإذا كان لديك حل آخر أخي ياسين فاطرحه لتعم الفائدة .

24-08-2007, 07:26 PM

شكرا اخي عمر و هو نفس الحل الدي
عندي لكني اخدت قيمة واحدة و عممت المسالة
مثلا لدينا
يعني
يعني
و نعلم ان
يعني
يعني
ثم يمكن تعميم القيم الاخرى على النتيجة فنحصل على المطلوب

تحياتي لك استاذي عمر


العضو المميز	الموضوع المميز	المشرف المميز
المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة	ماشاء الله تبارك الله ماشاء الله لاقوة الا بالله	المنتدى متاح للتصفح فقط ولا يقبل المشاركات الجديدة