تمرين بسيط

[omar]

حدد جميع المثلوثات (x,y,z) من \mathbb N ^ 3 وغير المنعدمة التي تحقق :
x+y+z=29
pgcd(x,z)=3
ppcm(x,y)=42

pgcd(x,z) هو القاسم المشترك الأكبر للعديين x و z .
ppcm(x,y) هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين x و y .

[رنا يامين]

ما في كتاب جبر حديث 1

[مجدى الصفتى]

حيث أن القاسم المشترك الأكبر للعددين x , z هو العدد 3
على ذلك يكون x = 3 k ، ويكون z = 3 m حيث k ، m أوليان بالنسبة لبعضيهما ،
وحيث أن المضاعف المشترك الأصغر للعددين x ، y هو العدد 42
إذا حاصل ضرب العددين x , y يساوى 42
إذن العدد k = 7 , k = 2 , k =1
ومن ذلك يكون العدد x = 21 , x = 6 , x = 3
وطبقاً لذلك يكون العدد y = 2 , y = 7 , y = 14
أولاً : y = 14 ، x = 3 نجد أن z = 12
( x , y , z ) = ( 3 , 14 , 12 )
ثانياً : y = 7 ، x = 6 نجد أن z = 16 مرفوض
ثالثاً : y = 2 ، x = 21 نجد أن z = 6
( x , y , z ) = ( 21 , 2 , 6 )

[omar]

أهلا بك أخ مجدي وأشكرك على هذا الجهد الطيب .


وحيث أن المضاعف المشترك الأصغر للعددين x ، y هو العدد 42
إذا حاصل ضرب العددين x , y يساوى 42



هذا ليس صحيح دائما ...

يكون هذا صحيحا إذا وفقط إذا كان العددين أوليان فيمابينهما حسب المبرهنة الشهيرة .

إذا كان d=pgcd(x,y) القاسم المشترك الأكبر و m=ppcm(x,y) المضاعف المشترك الأصغر للعددين x و y فإن xy=dm

وبسبب اعتبارك العددين x و y أوليان فيما بينهما لم تتوصل إلى جميع الحلول .

تحياتي .