متفاوتة جميلة

[omar]

ليكن x و y و z أعداد حقيقية موجبة بحيث x+y+z=1 .

برهن أن 0 \le xy+yz+zx-2xyz \le \frac{7}{27}

[ياسين]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
لقد استطعت ايجاد برهنة الطرف الايسر فقط.
نعلم ان xyz \geq (x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)

بما ان x+y+z=1 فان :
xyz \geq (1-2x)(1-2y)(1-2z)

بعد النشر و الحساب نجد :
xyz \geq 1-2(x+y+z)+4(xy+yz+zx)-8xyz

\frac{xyz+1}{4} \geq xy+yz+zx-2xyz العلاقة \huge{\star}

و لدينا حسب متفاوتة AM-GM :
(x+y+z)^3 \geq 27xyz

1\geq 27xyz

28\geq 27(xyz+1)

7\times 4 \geq 27(xyz+1)

\frac{7}{27}\geq \frac{xyz+1}{4} العلاقة \nabla


من \huge{\star} و \nabla نجد ان :

\frac{7}{27}\geq xy+yz+zx-2xyz

[ياسين]

حل الطرف التاني

بما ان x+y+z=1 فانه يمكننا ان نفترض ان

x=\frac{a}{a+b+c} و y=\frac{b}{a+b+c} و z=\frac{c}{a+b+c}

لنبرهن ان

xy+yz+zx -2xyz \geq 0

المتفاوتة تصبح

\frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^2} -\frac{2abc}{(a+b+c)^3} \geq 0

\frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^2} \geq \frac{2abc}{(a+b+c)^3}

(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 2abc

(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 2

و نعلم حسب Cauchy schwartz ان

(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 9 \geq 2

و منه المتفاوتة صحيحة

[omar]

السلام عليكم و رحمة الله و بركاته
لقد استطعت ايجاد برهنة الطرف الايسر فقط.
نعلم ان xyz \geq (x+y-z)(x-y+z)(-x+y+z)

بما ان x+y+z=1 فان :
xyz \geq (1-2x)(1-2y)(1-2z)

بعد النشر و الحساب نجد :
xyz \geq 1-2(x+y+z)+4(xy+yz+zx)-8xyz

\frac{xyz+1}{4} \geq xy+yz+zx-2xyz العلاقة \huge{\star}

و لدينا حسب متفاوتة am-gm :
(x+y+z)^3 \geq 27xyz

1\geq 27xyz

28\geq 27(xyz+1)

7\times 4 \geq 27(xyz+1)

\frac{7}{27}\geq \frac{xyz+1}{4} العلاقة \nabla


من \huge{\star} و \nabla نجد ان :

\frac{7}{27}\geq xy+yz+zx-2xyz

حل ممتاز بارك الله فيك

[omar]

حل الطرف التاني

بما ان x+y+z=1 فانه يمكننا ان نفترض ان

x=\frac{a}{a+b+c} و y=\frac{b}{a+b+c} و z=\frac{c}{a+b+c}

لنبرهن ان

xy+yz+zx -2xyz \geq 0

المتفاوتة تصبح

\frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^2} -\frac{2abc}{(a+b+c)^3} \geq 0

\frac{ab+bc+ca}{(a+b+c)^2} \geq \frac{2abc}{(a+b+c)^3}

(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq 2abc

(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 2

و نعلم حسب Cauchy schwartz ان

(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geq 9 \geq 2

و منه المتفاوتة صحيحة

يكفي ملاحظة أن أحد الأعداد يجب أن يكون أصغر من {1 \over 2} مثلا العدد z

وعليه : xy+yz+zx-2xyz=xy(1-2z)+xz+yz\geq 0