الحقيقة المرة عن التكاملات

[uaemath]

ما هي الدوال البسيطة - elementary functions ؟

1) الدوال النسبية - Rational functions

2) الدوال الجبرية - Algebraic functions

الصريحة و الغير مباشرة explicit or implicit

3) الدالة الاسية هـ ^س - the exponential function e^x

4) الدالة اللوغاريتمية - the logarithmic function

5) الدوال المثلثية و الدوال المثلثية العكسية - Trigonometric Functions & Inverse trigonometric functions

6) أي معادلة محددة غير نهائية من كل ما سبق

Finite combination from all of the above

الحقيقة المرة أنه هناك تكاملات لا يمكن التعبير عن إجابتها

بواسطة الدوال الابتدائية(البسيطة - elementary functions)

حيث أنه يمكننا التعبير عن تكامل http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0633881001187202130.png بواسطة قاعدة تحوي دوال بسيطة ، لا يمكن التعبير ابدا بواسطة قاعدة

بسيطة عن تكامل http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0087003001187202277.png مثلا

بغض النظر عن مقدار الجهد الذي تبذله و مهما حاولت ، لن يمكنك ابدا التعبير

بواسطة قاعدة تحوي دوال بسيطة عن تكاملات من مثل :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0149510001187202479.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0665135001187202508.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0071407001187202549.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0368287001187202581.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0587005001187202663.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0868459001187202705.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0680765001187202751.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0696414001187202785.png

سنتحدث لاحقا عن السبب في ذلك و كيف يتم حل هذه التكاملات

إن شاء الله

[امام مسلم]

أخى الأستاذ القدير uaemath
دائماً تتلمس العصب الحساس فى الرياضيات بفروعها
لافضفوك

[uaemath]

شكرا صديقي العزيز الاستاذ امام على المرور الكريم ، الحقيقة أن هذا الموضوع

يسأل عنه الكثيرون و يعتبرونه بشعا و لذلك احببت أن القي الضوء على هذا

الموضوع.

يمكن حل هذه التكاملات باستخدام المتسلسلات اللانهائية (infinite series)

تاريخيا برزت المتسلسلات النهائية بسبب عملية المكاملة و كان أول من

استخدمها نيوتن و ما زالت تستخدم حتى الآن و لكن بصورة أدق

(سنشرح لاحقا ما المقصود بكلمة أدق )

لنستعرض الآن كيفية الحصول على مفكوك المتسلسلات اللانهائية :

وجد تايلور ( عالم رياضيات إنكليزي و تلميذ نيوتن 1685 - 1731 ) بطريقة

معقدة و غير دقيقة صورة عامة للتعبير عن الدوال القابلة للإشتقاق بواسطة

قوى ( x - a ) و المشتقات عند x = a :

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_77124024.jpg

بعد مرور 30 عاما اقترح ماكلورين (عالم رياضيات إنكليزي) الصيغة التالية :

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_53144531.jpg

و عليه :

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_63439942.jpg

الآن لنأخذ التكامل : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0446420001187264417.png

نوجد مفكوك ماكلورين لـ http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0805757001187264488.png

في الحقيقة ليس علينا إيجاد المشتقات و التعويض ، كل ما علينا فعله هو

التعويض بـ x ² - مكان x في العلاقة اعلاه :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0977647001187264793.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0727654001187265128.png

و لكن هذه ليست كامل القصة ..........

التكامل : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0274535001187265247.png

نقسم مفكوك sinx أعلاه على x :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0149514001187269933.png

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0727642001187265523.png

سنرى فيما بعد ان يمكن التعبير عن بعض هذه التكاملات بواسطة علاقات

دوال مثل دالة غاما ، الدوال الزائدية ، و دالة الخطأ ( error function )

ملاحظة أخيرة ، بحيث أنه لا يمكن التعبير عن تكاملات مثل :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0181185001187265775.png

إلا أن ذلك ممكن للتكامل : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0446422001187265828.png

اضغط هنا لرؤية الحل (http://www.uaemath.com/ar/aforum/showthread.php?t=417)

للحديث بقية

[yousuf]

موضوع رائع رائع رائع ................رائع......رائع^ن

متابع

[laila245]

موضوع رائع جداً

[uaemath]

شكرا yousuf ، la245 على المرور ،

استخدمها نيوتن و ما زالت تستخدم حتى الآن و لكن بصورة أدق

(سنشرح لاحقا ما المقصود بكلمة أدق )

لإيجاد مشتقة دالة ما ، قام نيوتن بتغيير الدالة المعطاة بمتسلسلة قوى لانهائية

أي بإبدال الدالة بالعبارة :

\huge {a}_{0} + {a}_{1}{x}^{1} + {a}_{2}{x}^{2}+{a}_{3}{x}^{3}+.....+ {a}_{n}{x}^{n} + ....

مثال : أبدل نيوتن الدالة \huge \frac{1}{1+x} بالعبارة :

\huge 1 - x + x^2 - x^3 + .......... + (-1)^n x^n + ......

و كتب النتيجة على الصورة (1):

\huge \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + .......... + (-1)^n x^n + .....(1)

و لكي يفك الدوال في متسلسلات لانهائية ، استخدم طرقا مختلفة فطبق

مثلا العلاقة :

\huge (1+x)^m = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{1\times2}x^2 + \frac{m(m-1)(m-2)}{1\times2\times3}x^3 + ......

و التي استنتجها بليز باسكال الفيلسوف الفرنسي الشهير و عالم الرياضيات

(1623 - 1662) لقيم m الموجبة ، و لكن نيوتن اجراها على قيم m السالبة

و الكسرية ، عندئذ يزداد عدد الحدود إلى عدد لانهائي

عندما تكون m = -1 ، نحصل على العلاقة (1) أعلاه ، و عندما تكون m = -2

نحصل على العلاقة (2) :

\huge \frac{1}{(1+x)^2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + .......(2)

كان نيوتن يفهم ان نتائجه غير دقيقة و لذلك كان يجريها بالأمثلة ،

لإيجاد المشتقة فاضل نيوتن حدود العبارة (1) كلا منها على حدة ( لم يكن نيوتن

يعرف أن النظرية المتعلقة بمشتقة حاصل الجمع يمكن ان تكون غير صحيحة

بالنسبة لعدد الحدود المتزايد إلى ما لانهاية ، و بالمناسبة فإن هذه النظرية

عندما تكون قيم x صغيرة صغرا كافيا ، صحيحة للمتسلسلات على الصورة (1)

أي انه لم تحدث أخطاء ) و بمقارنة المشتقة مع (2) نجد ان :

\huge \left[ \frac{1}{(1+x)}\right]' = \frac{-1}{(1+x)^2}

تسمح الدوال التي كانت معروفة في القرن الثامن عشر ، بفك الدالة في

متسلسلة تايلور و لم يشك علماء الرياضيات أن كل دالة متصلة يمكن أن تكتب

على صورة مفكوك لمتسلسلة تايلور ، غير انهم تحسسوا الحاجة إلى

تقدير دقيق للخطأ الذي تعطيه علاقة تايلور إذا

ما توقفنا فيها عند الحد :

\huge \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n

استنتج لاجرانج في عام 1779 باقي متسلسلة تايلور

أي R_n:

\huge {R}_{n}= \frac{f^n({x}_{0})}{n!}(x-a)^n ; a \prec {x}_{0}\prec x

بعد مرور ربع قرن أثبت كوشى صحة هذه العلاقة كما استنتج علاقة جديدة

تعطي الباقي

لذلك اوردنا كلمة أدق عند الحديث عن متسلسلة تايلور أو صيغة ماكلورين

الآن قبل ان نكمل : هل من طريقة تدلنا على إمكانية أيجاد تكامل بواسطة علاقة

بين دوال اولية (بسيطة) أم لا ؟

بمعنى آخر ، هل من طريقة لنعرف أن التكامل قابل للحل بحدود غير منتهية ؟

الجواب : نعم

و هذا موضوع المشاركة المقبلة

[uaemath]

سنجيب في هذه المشاركة عن السؤال :

لماذا بعض التكاملات مثل : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0181185001187265775.png غير أولية

و البعض الآخر أولي مثل : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0446422001187265828.png

سأعطيكم جوابا سريعا ، نظرية تشيبيشييف Chebyshev's Theorem -1853:

إذا كان p , q , r أعدادا نسبية و a , b أعدادا حقيقية بحيث

a , b ,r غير منعدمة (لا تساوي الصفر ) فإن :

\huge \int{x^p(a+bx^r)^q dx}

يكون أولي (يمكن التعبير عنه بعلاقة بين دوال اولية بسيطة ) إذا و فقط إذا

واحد من :

\huge \frac{p+1}{r} , q , \frac{p+1}{r}+q

على الأقل هو عدد صحيح

كيف يمكن استخدام هذه النظرية لتعليل الجملة الواردة أعلاه ؟

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0181185001187265775.png غير أولية ، نستطيع رؤية ذلك بالتعويض ، مثلا نضع sinx = u

du = cosx dx ،

{\huge cosx = \sqrt{1-sin^2 x}= \sqrt{1-u^2}= (1-u^2)^{\frac{1}{2
و يصبح التكامل :

\huge \int{u^{\frac{1}{2}}(1-u^2)^{\frac {-1}{2}} du}

هنا :

\huge p = \frac{1}{2}, r = 2 , q =\frac{-1}{2}

\huge \frac{p+1}{r} = \frac{3}{4} , q =\frac{-1}{2},\frac{p+1}{r}+q = \frac{1}{4}

و لا واحد عدد صحيح ، إذا التكامل غير أولي

بالنسبة لـ : http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0446422001187265828.png

هو اولي ، يمكنك أن تجرّب ( u² = tanx )

أسئلة :

حدد نوع التكامل ( أولي أم غير أولي ، أرجو أن تحلوها) لكل من التكاملات التالية :

\huge \int{\sqrt[3]{1+x^2}dx}

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0446422001187265828.png

السؤال الآن : هل هذه النظرية تصنّف جميع التكاملات إلى اولي و غير اولي

مثلا

\huge \int{\sqrt{lnx}dx}

الجواب لا ، و للحديث بقية

[Mr.KSA]

موضوع شيق و نادر

لك جزيل شكري استاذي الفاضل

[uaemath]

شكرا أخي حمودي ،

حسنا كيف نحدد إذا ما كان

\huge \bf \int{\sqrt{lnx}dx}

أوليا أم لا ؟


كان (Joseph Liouville (1809 - 1882 ، عالم الرياضيات الفرنسي أول من

تطرّق لموضوع إثبات أن التكاملات غير أولية و ذلك عبر وضع نظرية (عام 1835)

عرفت باسمه ( النظرية التالية هي حالة خاصة مما يعرف بـنظرية لوافيل القوية ):

إذا كانت http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0513760001185933321.png و http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0763744001185933375.png دوال نسبية ( Rational Functions ) حيث http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0763744001185933375.png غير ثابتة ( Not constant ) ، يكون :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0723380001187413802.png ، أوليا (Elementary ) ، إذا و فقط إذا (If and only if ) وجدت

دالة نسبية http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0998156001185933743.png تحقق الشرط التالي :

http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0329490001187413904.png

نتيجة 1 :التكامل

\huge \bf \int{x^{2n} e^{ax^2}dx}

هنا \huge f(x)= x^{2n} , g(x) = ax^2 , a\neq 0

يمكن إثبات أنه لا يمكن إيجاد دالة نسبية http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0586575001187415147.png تحقق شرط النظرية :

\huge x^{2n} = R'(x)+ g'(x)R(x)= R'(x)+2axR(x)

و عليه كل التكاملات على الصورة \huge \bf \int{x^{2n} e^{ax^2}dx} غير أولية

(عندما تكون n = 0 و a = -1 نحصل على دالة الخطأ - error function التي سنتحدث عنها لاحقا )

هذه النتيجة مفيدة جدا و يمكن استخدامها لبرهان ان تكاملا ما ليس أوليا

بواسطة تحويله إلى الصورة \huge \int{t^{2n}e^{at^2}dt}

الآن بإمكاننا إجابة السؤال المطروح في بداية المشاركة :

\huge \int{\sqrt{lnx}dx}

نضع t² = lnx

\huge 2t dt = \frac{dx}{x}

و http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0846647001187416297.png

يصبح التكامل :

\huge \int{\sqrt{lnx}dx}= \int{2t^2 e^{t^2}dt}

و هو على الصورة الواردة في النتيجة 1 أعلاه ، أي انه غير اولي

نتيجة 2 :التكامل

\huge \int{x^{-n} e^{ax}dx}

حيث n عدد صحيح موجب و a غير منعدمة

تكامل غير أولي لأنه يمكن إثبات أنه لا توجد دالة نسبية http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0586575001187415147.png تحقق شرط النظرية :

\huge x^{-n} = R'(x)+ g'(x)R(x)= R'(x)+aR(x)

مثال :

\huge \int{\frac{1}{lnx}}dx

غير أولي لانه يمكن كتابته على الصورة الواردة في النتيجة 2 و ذلك باستخدام

التعويض : t = lnx ، ليصبح التكامل :

\huge \int{\frac{e^t}{t}}dt = \int{t^{-1} e^t}dt

أسئلة: استخدم التعويض لتحويل التكاملات التالية إلى الصيغ الواردة في النتيجتين 1 و 2 أعلاه لإثبات أن هذه التكاملات غير أولية :

\huge \int{\frac{1}{\sqrt{lnx}}}dx

\huge \int{e^{e^{x}}dx}

\huge \int{\frac{e^x}{\sqrt{x}}dx}

\huge \int{ln(lnx)dx}
(استخدم التكامل بالتجزىء - By parts أولا )

و للحديث بقية .......

[سيد كامل]

زادك الله علما استاذنا
افض علينا مما انعم الله عليك
جزاك الله خيرا - ننتظر البقية

[سيد أمين]

بارك الله فيك يا أستاذ , نحن في انتظار البقية.

[uaemath]

شكرا إخواني السيدين كامل و أمين ،

عندما تضع التكامل \huge f(x)=\int{e^{-x^{2}}dx}

في برنامج مابل النسخة 11 (Maple 11) يعطيك النتيجة :

\huge f(x)=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{\pi}erf(\sqrt{lne}x)}{ \sqrt{lne}}

ولكننا نعرف بان : lne = 1 ، إذا ما هي إلا :

\huge f(x)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}erf(x)

أو في برنامج ماثماتيكا النسخة 6 (6 Mathematica ) :

\huge \frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi(x)

ما هي \large \bf erf(x) أو \large \bf erfi(x) ؟

بداية حرف الـ i الذي يظهر في صيغة ماثماتيكا ما هو إلا اختصار لكلمة

imaginary (تخيلي - نسبة للأعداد التخيلية ) و هي صيغة أشمل من نأخذ

الأعداد الحقيقية فقط و erf هي اختصار error function ( دالة الخطأ )

تعريف

دالة الخطأ (error function ) ، يطلق عليها في بعض الأحيان دالة جاوس للخطأ

نسبة لعالم الرياضيات الألماني جاوس (1777 - 1855 ) - للمعلومات نشأت

دالة جاوس من الحاجة لتقدير الخطأ في نظرية الإحتمالات لمنحنى التوزيع

الطبيعي - Normal Distribution -

هي دالة غير أولية

معرّفة كالتالي :

erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}{e^{-t^{2}}dt}

و هي تستخدم في نظرية الإحتمالات و الإحصاء و المعادلات التفاضلية الجزئية

التكامل كما أسلفنا غير أولي و لكن يمكن باستخدام متسلسلة تايلر لـ http://www.uaemath.com/ar/aforum/math0191391001187618872.png :

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_87983399.png

فإذا كاملنا حدا حدا ، نحصل على :

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_60715332.png

الخصائص :

1) دالة الخطأ فردية : \large \bf erf(-x) = - erf(x)

2) \large \bf erf(0)= 0

3) دالة الخطأ عند مالانهاية تساوي = 1

4) دالة الخطأ المكمّلة (Complementary error function ):

\large \bf erfc(x)= 1 - erf(x)

أي : \large \bf erf(x) + erfc(x)= 1

5) \large \bf erfc(0)= 1 , erfc(\infty) = 0

6) الرسم البياني للدالتين :

http://www.mathyards.com/attach/upload2/wh_81315918.gif

و للحديث بقية إن شاء الله

[وسام]

شكرا جزيلا علي الموضوع , اتذكر بان الاستاذ قال لنا ذات مرة ان هناك تكاملات
صعبة او ان حاولتم بها بالطريقة العادية لن تجدوا لها حلا , اعتقد ان هذا ما قصده

شكرا مرة اخرى علي الموضوع

[ضحية الرياضيات]

لموضوع خطييييييير ومشوق اشكرك استاذنا uaemath على هذا الموضوع الرائع

[عبد الحميد السيد]

معلومات قوية وفعالة
الله يجزيك الخير على مجهودك الرائع
تقبل تحياتي من سوريا

[علاء رمضان]

مجهود رائع فى انتظار المزيد

[مها خالد]

بارك الله فيك
وجعل ماتقدمه في ميزان حسناتك
صدقة جارية لخدمة العلم
ان شاء الله

[أبوعمرو]

جزاكم الله خيرا وكل عام وانتم بخير ابو عمرو

[جمال عبد الهادي]

بارك الله فيك يا استاذنا العزيز ونحن في انتظارك

[kha]

شكرا لك على هذا الموضوع الممتار من دون مبالغة

[samsa2]

:clap::clap:u r special

[fahad nasir]

إستخدام متسلسلتي ماكلورين وتايلور التين تقربان الدوال الحقيقية حلتا الكثير من المعضلات الرياضية.

[أسماء شلبى]

موضوع شيق جدا .............. وشكـــــــــــــرا

[mathson]

جميل جدا استاذي
بورك على هذا المجهود الطيب
وجزاك الله خير الجزاء

[عبد الكريم الأيوبي]

جزاك الله عنا كل خير و جعلها لك صدقة جارية.عبد الكريم الأيوبي.

[oktavios]

thank you brather

[454]

تحية للأستاذ uaemath على موضوعه اللطيف ،

حبذ لو تشير إلى بعض المراجع أو المواقع (يفضل بالانكليزية) التي تتطرق إلى مبرهنتي ليوفيل وتشبيتشوف وإثباتهما .

[الحداد]

الموضوع شيق جدا ويصلح للعديد هداك الله وجزاك كل خير عنا اخوك الحداد

[Millennium treasure]

ألف شكر أستاذنا الفاضل

[امل الفاخري]

بالفعل يمكن حل التكاملات البسيطه بالطرق العاديه ولاكن مشكلت التكاملات المركبه بواسطة التجزئه للتفاضل

[نبال النتشة]

شكرا والله استفدت انا

اشكرك على هذا الموضوع المتميز

فعلا رائع

[حمساوي و افتخر]

الموضوع رائع كتير يسلموا

[حمساوي و افتخر]

الموضوع كتير كتير رائع مشكورين عليه وبارك الله فيكم

[احلىMON]

بارك الله فيك زادك الله علما على علمك
يسلمو على الطرح القيم

[lmaati]

thank's

[mekkaoui_1963]

شكرا جزيلا

[منار الشوق]

والله أفدتوني جداً
بارك الله فيكم

[freeyounes]

بارك الله فيكم...............

[شرف2008]

موضوع حلوا وبارك الله فيكم ...

[محمد عبد العزيز2008]

ما اجمل الاستفاده بهذا الموضوع الهم علمنا ما ينفعنا وانفعنا بما علمتنا انك انت السميع العليم

[إهداء]

تحياتي لك ،،


موضوع شيق و مهم في نفس الوقت ،،


لك كل الشكر ،،

ننتظر كل جديد من شخصكم الكريم ،،

[منى عمر عبد الرحمن]

موضوع جداً رائع ومفيييييييييييد
شكراً

[mathson]

هل انتهى الموضوع هنا ::
نطمع بالمزيد ... إن شاء الله ...

[mostafas3fan]

الاخوة الكرام \ ليت المنتدي يثبت هذا الموضوع للاهمية القصوي
ةاكرمك الباري اخينا العزيز وزاد لك في علمك لتنفع بة الناس

[(رونق)]

جزاكم الله كل خير

وزادكم علمااا

[مريم العذراء]

موضوع شيق ورائع ومحير في نفس الوقت
استاذي الكريم
والله يعطيك ألف عافية

[math lover]

شكرا لك ولكم يا اعضائنا الكرام انتم عصب المنتدى شكرا جزيلا

[pshl]

شكر خاص لك

[fetati mohamed]

شكرا جزيلا

[zouzounabil]

Thnaks Verry Match Fortt Thes Informationss Realyy Iss Veryy Goodd Thnaksss Teacher

Allah Akbar

[فيدان عبدالله]

شكرا على الموضوع المفيد جدا

[ABO_ALREGAL]

موضوع رائع رائع
مرحبا بالعلم

[محمودالجمال2007]

جزاكم الله خيرا موضوع غاية فى الاهمية

[justcall]

منك نستفيد ... دمت بالصحة

[ابسلون]

جزاك الله خيرا

[shakira]

merçi ktir

[القائد1]

بارك الله فيك أخي وجعلها في ميزان حسناتك

[أحمد أبو سريس]

الله يعطيكم العافية يا أستاذتنا الكرام وزادكم من علمه لتفيدوا فيه عبده
اشكركم كل الشكر بجد أنتم عباقرة

[ppu]

موضوع اكثر من رائع بارك الله فيك استاذ احنف
جعله الله في ميزان حسناتك

[سوسو2008]

حلو كتييييييييييييييير الموضوع الله يجزيك الخير

[smaaa]

شكرا لك على هذا الموضوع

[سمير]

السلام عليكم انا طالب سنه رابعه خريج من فلسطين وعندي سمنار هذا الكورس وعنوانه تطبيقات التكامل في الحياه العمليه واريد تعريف بالتكامل بحدود ثلاث صفحات في مقدمه البحث ارجو المساعده

[الشعلالي]

جزاك الله خيرا - ننتظر البقية

[محمد قيشه]

شكراااااااااااااااااااااا ااااااا

[totoumourad]

موضوع شيق و نادر

لك جزيل شكري استاذي الفاضل

[arc]

جزاك الله خيرا أستاذنا

[zouhirkas]

بصراحة تسجيلي في هدا المنتدى بمتابة كنز وإكتشاف لمنبع علم لايوكح شكرا لك على الموضوعات الرائعة
التي تخرج الإنسان من الظلمات إلى النور

[معتز الخطيب]

ربنا يزيدكم من علمه

[محمد06]

tالسبت 19 رجب 1430

[wassimoss]

اينشطين انه موضوع في المستوى
جزاكم الله خيرا.

[مسك شاهين]

بارك الله فيك

[رامي ربابعه]

مشكور أخوي

[احمد سممور]

يا سلام ما اروعك ...................... ولا اجمل من هيك فعلا كبير وببصم بالعشرة

[habiba]

السلام عليكم

[دلال]

موضوك رائع جدا وانا عندي كتاب فيه جميع الاشكال للتكاملات ممكن يفيد الجميع وبسيط اسمه calculas اتوقع الكل سامع عنه لان كنا ندرس منه في الجامعه,
وشكرا مره اخرى